Moment cinétique orbital total, moment cinétique de spin total

Pour un système à $n$ particules on définit les moments orbitaux et de spin totaux en sommant sur toutes les particules

$${\bf L} = \sum_i {\bf L}^{(i)}=\sum_i\left( \begin{array}{c}... ...rray}{c}L_x\nonumber L_y\nonumber L_z\end{array} \right)$$

$${\bf S} = \sum_i s^{(i)}=\sum_i\left(\begin{array}{c}s_x^{(i... ...array}{c}S_x\nonumber S_y\nonumber S_z\end{array}\right)$$

on définit également les opérateurs $L^2$, $S^2$, $L_+, L_-, S_+$ et $S_-$ Ces différents opérateurs commutent avec $\hat H$ et les fonctions propres de $\hat H$ doivent l'être également de $L^2, S^2$ ainsi que de l'une des composantes de L et S, on choisit en général la composante suivant $z$.

A partir des opérateurs $L_x, L_y, S_x$ et $S_y$ on construit les opérateurs

$$L_+ = L_x+\imath L_y$$

$$L_- = L_x-\imath L_y$$

$$S_+ = S_x+\imath S_y$$

$$S_- = S_x-\imath L_y$$ (2.133)

En désignant par $\Psi(L, M_L)$ et par $\Theta(S, M_S)$ les fonctions propres respectives de $L^2$ et $S^2$, l'action des différent opérateurs s'écrit

$$L^2\Psi(L, M_L)=L(L+1)\hbar^2\Psi(L, M_L) \mbox{\hspace{2cm}} L_z\Psi(L, M_L)=M_L \hbar\Psi(L, M_L)$$

$$S^2\Theta(S, M_S)=S(S+1)\hbar^2\Theta(S, M_S) \mbox{\hspace{2cm}} S_z\Theta(S, M_S)=M_S \hbar\Theta(S, M_S)$$ (2.134)

$$L_+\Psi(L, M_L) = \sqrt{L(L+1)-M_L(M_L+1)}\hbar\Psi(L, M_L+1)$$

$$L_-\Psi(L, M_L) = \sqrt{L(L+1)-M_L(M_L-1)}\hbar\Psi(L, M_L-1)$$

$$S_+\Theta(S, M_S) = \sqrt{S(S+1)-M_S(M_S+1)}\hbar\Theta(S, M_S+1)$$

$$S_-\Theta(S, M_S) = \sqrt{S(S+1)-M_S(M_S-1)}\hbar\Theta(S, M_S-1)$$ (2.135)