Exemple d'application : configurations $np^2$

Les différentes configurations électroniques, correspondant à deux électrons dans une sous couche $p$ sont schématisées ci dessous

$$\begin{array}{lrrrrrrrrrrrrrrr} l=1&\uparrow\downarrow& & &\... ...1\nonumber \\ M_S&0&0&0&1&0&1&0&0&-1&0&-1&1&0&0&-1 \end{array}$$

1. configurations avec $M_L=\pm2, \pm 1, 0$, $M_S=0$ : La fonction d'espace est de la forme
   

   $$\Psi(\Omega_1, \Omega_2)= Y_1^1(\Omega_1) Y_1^1(\Omega_2)$$ (2.136)

   
   
   Elle est symétrique par rapport à la permutation des électrons, et donc la fonction de spin doit être antisymétrique, on aura
   

   $$\Theta (\sigma_1, \sigma_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha(\sigma_1) \beta(\sigma_2)-\beta(\sigma_1)\alpha(\sigma_2))$$ (2.137)

   
   
   On vérifie aisément que
   

   $$S_z\Theta (\sigma_1, \sigma_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} (s_z^{(1)}+s_z^{(2)})(\alpha(\sigma_1) \beta(\sigma_2)-\beta(\sigma_1)\alpha(\sigma_2))$$

   $$= \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{2} \alpha(\sigma_1)\beta(\sigma_2)+\f... ...}\alpha(\sigma_1)\beta(\sigma_2)-\frac{1}{2}\beta(\sigma_1) \alpha(\sigma_2))=0$$ (2.138)

   
   
   et que
   

   $$S^2\Theta (\sigma_1, \sigma_2) = (S_-S_+ +S_z^2+\hbar S_z)\Theta (\sigma_1, \sigma_2)$$

   $$= S_-S_+Theta (\sigma_1, \sigma_2)$$

   $$= \frac{1}{\sqrt{2}} S_-(s_+^{(1)}+s_+^{(2)})(\alpha(\sigma_1)\beta(\sigma_2)-\beta(\sigma_1) \alpha(\sigma_2))$$

   $$= \frac{1}{\sqrt{2}}S_-(\alpha(\sigma_1)\alpha(\sigma_2)- \alpha(\sigma_1)\alpha(\sigma_2))=0$$ (2.139)

   
   
   Cette fonction correspond bien à $S=0, M_S=0$, pour obtenir $\Psi(2, 1), \Psi(2, 0), \Psi(2, -1)$ et $\Psi(2, -2)$ on fait agir $L_-$ sur $\Psi(2, 2)$
   

   $$L_-\Psi(2, 2)= (L_-^{(1)}+L_-^{(2)})\Psi(2, 2)=\sqrt{2}\hbar... ...^1(\Omega_2)+Y_1^1(\Omega_1) Y_1^0(\Omega_2))=2\hbar\Psi(2, 1)$$ (2.140)

   
   
   donc
   

   $$\Psi(2, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^0(\Omega_1)Y_1^1(\Omega_2) + Y_1^1(\Omega_1)Y_1^0(\Omega_2))$$ (2.141)

   
   
   de même
   

   $$\Psi(2, 0) = \frac{1}{\hbar\sqrt{6}}\Psi(2, 1) = \frac{1}{\sqrt{6}}(2 Y_1^0(\O... ...\Omega_2)+Y_1^{-1}(\Omega_1)Y_1^0(\Omega_2)+ Y_1^1(\Omega_1)Y_1^{-1}(\Omega_2))$$

   $$\Psi(2, -1) = \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^0(\Omega_1)Y_1^{-1}(\Omega_2) + Y_1^{-1}(\Omega_1)Y_1^0(\Omega_2))$$

   $$\Psi(2, -2) = Y_1^{-1}(\Omega_1) Y_1^{-1}(\Omega_2)$$ (2.142)

   
   

2. configurations avec $M_L=\pm 1, 0, M_S=\pm 1, 0$ : les fonctions de spin correspondent aux trois composantes du triplet
   

   $$\Theta (1,-1) = \beta(\sigma_1)\beta(\sigma_2)$$

   $$\Theta (1, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha(\sigma_1)\beta(\sigma_2) + \beta(\sigma_1)\alpha(\sigma_2))$$

   $$\Theta (1, 1) = \alpha(\sigma_1)\alpha(\sigma_2)$$ (2.143)

   
   
   Elles sont symétriques par rapport à la permutation et par suite les fonctions angulaires satisfaisantes doivent être antisymétriques
   

   $$\Psi (1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^1(\Omega_1)Y_1^0(\Omega_2) - Y_1^0(\Omega_1)Y_1^1(\Omega_2))$$

   $$\Psi (1, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^1(\Omega_1)Y_1^{-1}(\Omega_2) - Y_1^{-1}(\Omega_1)Y_1^1(\Omega_2))$$

   $$\Psi (1, -1) = \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1^0(\Omega_1)Y_1^{-1}(\Omega_2) - Y_1^{-1}(\Omega_1)Y_1^0(\Omega_2))$$ (2.144)

   
   

3. configurations avec $M_L=0, M_S=0$ : c'est la combinaison symétrique
   

   $$\Psi (0, 0) = \frac{1}{\sqrt{6}}(Y_1^1(\Omega_1)Y_1^{-1}(\Om... ...0(\Omega_1)Y_1^0(\Omega_2)+ Y_1^{-1}(\Omega_1)Y_1^1(\Omega_2))$$ (2.145)

   
   
   multipliée par la fonction $\Theta (0, 0)$ définie précédemment.