Expression du laplacien en coordonnées sphériques.

Le potentiel est fonction de la seule variable $r$, il est donc avantageux de travailler dans un système de coordonnées où $r$ est une variable explicite. On choisit donc le système des coordonnées sphériques $r, \theta, \varphi$ où :

$$\nabla^2 = {1\over r^2} {\partial \over \partial r}(r^2 {\pa... ...{1\over r^2 \sin^2{\theta}}{\partial^2 \over\partial\varphi^2}$$ (2.99)

On rapprochera la partie angulaire de cet opérateur de l'expression de $L^2$

$$L^2 = -\hbar^2\lbrack {1\over \sin{\theta}}{\partial \over \... ...ver \sin^2{\theta}}{\partial^2 \over\partial\varphi^2}\rbrack$$ (2.100)

Ce qui permet d'écrire

$$H_{\bf r} = H (r) + {1 \over 2 \mu r^2} L^2$$ (2.101)