Méthode de variation des constantes.

Considérons un système quantique se trouvant avant la perturbation ($t<t_0$) dans l'état stationnaire d'énergie $E_i$, auquel correspond:

$$\vert \Psi_i^{(0)}({\bf r}, t)\rangle = \vert\phi_i({\bf r})\rangle \exp(-\imath E_it/\hbar)$$ (3.73)

la fonction $\vert \Psi_i({\bf r}, t)\rangle$ satisfait à l'équation de Schrödinger dépendant du temps:

$$\imath\hbar \frac{\partial}{\partial t} \vert \Psi^{(0)}_i({... ... = \hat H^{(0)}({\bf r})\vert \Psi^{(0)}_i({\bf r}, t)\rangle$$ (3.74)

Supposons maintenant, que la perturbation dépendant du temps $\hat H^{(1)}({\bf r}, t)$ soit appliquée à l'instant $t=0$ et supprimée à l'instant $t=\tau$. L'état du système perturbé sera décrit par $\vert \Psi_i({\bf r}, t)\rangle$. L'indice $i$ n'est pas relatif à la situation du système après la perturbation mais, à la situation originelle. La fonction d'onde $\vert \Psi_i({\bf r}, t)\rangle$ est solution de l'équation de Schrödinger dépendant du temps:

$$\imath\hbar \frac{\partial}{\partial t} \vert \Psi_i({\bf r}... ...}) + \hat H^{(1)}({\bf r}, t))\vert \Psi_i({\bf r}, t) \rangle$$ (3.75)

Quand la perturbation est supprimée le système revient à un état stationnaire et la structure primitive en niveaux d'énergie est rétablie. Pourtant, si avant la perturbation, le système occupait le $i$-ième niveau d'énergie, il peut, une fois celle-ci supprimée occuper le $f$-ième. Dans ce cas on dit que la perturbation $\hat H^{(1)}({\bf r}, t)$ induit la transition quantique $i\rightarrow f$.

Le principe de superposition permet de représenter l'état perturbé $\vert \Psi_i({\bf r}, t)\rangle$ en fonction des états propres de $\hat H^{(0)}$:

$$\vert \Psi_i({\bf r}, t)\rangle = \sum\limits_l c_{il} (t) \... ..._{il} (t) \vert\Phi_l({\bf r})\rangle \exp(-\imath E_lt/\hbar)$$ (3.76)

En substituant 3.76 dans 3.75 on obtient:

$$\imath\hbar\sum\limits_l\frac{d}{dt}c_{il} (t) \vert\Psi_l^{(0)}(... ...hbar\sum\limits_l c_{il} (t) \frac{d}{dt} \vert\Psi_l^{(0)}({\bf r}, t) \rangle = \sum\limits_l c_{il} (t) \hat H^{(0)} ({\bf r})\vert\Psi_l^{(0)}({\bf r}, t)\rangle \cr$$ (3.77)

En éliminant les termes correspondant à l'équation de Schrödinger non perturbée il reste:

$$\imath\hbar\sum\limits_l\frac{d}{dt}c_{il} (t) \vert\Psi_l^{... ...hat H^{(1)} ({\bf r}, t) \vert\Psi_l^{(0)}({\bf r}, t)\rangle$$ (3.78)

En multipliant à gauche par $\langle \Psi_m^{(0)}({\bf r}, t)\vert$, il vient:

$$\imath\hbar \frac{d}{dt}c_{im} (t) = \sum\limits_l c_{il} (t) \langle \Psi_m^{(0)}({\bf r}, t)\vert \hat H^{(1)} ({\bf r}, t) \vert\Psi_l^{(0)}({\bf r}, t)\rangle \cr$$ (3.79)

Les coefficients $c_{il} (t)$ sont alors développés en série

$$c_{il} (t) = c_{il}^{(0)} (t) + c_{il}^{1} (t) + \dots$$ (3.80)

avec

$$c_{il}^{(0)} (t) = \delta_{il}$$ (3.81)

donc

$$\frac{d}{dt} c_{il}^{(0)} (t) = 0$$ (3.82)

et

$$c_{il}^{1} (t) = -\frac{\imath}{\hbar}\int\limits_0^t \lang... ...bf r})\rangle \exp(\imath (E_l-E_i) t^\prime/\hbar) dt^\prime$$ (3.83)