Théorème du viriel

En appliquant l'équation d'Heisenberg à l'opérateur

$$\hat A = \hat{\bf r}\cdot\hat{\bf p}$$ (3.29)

on obtient :

$$\frac{d}{dt}\langle\hat{\bf r}\cdot\hat{\bf p}\rangle = \fra... ...t\lbrack\hat H, \hat{\bf r}\cdot\hat{\bf p}\rbrack\vert\rangle$$ (3.30)

avec

$$\frac{\imath}{\hbar} \lbrack\hat H, \hat{\bf r}\cdot\hat{\bf... ...{\bf r}\cdot\nabla\hat V) = 2\hat T - {\bf r}\cdot\nabla\hat V$$ (3.31)

où $\hat T$ désigne l'opérateur énergie cinétique.

$$\frac{d}{dt}\langle\hat{\bf r}\cdot\hat{\bf p}\rangle = 2 \langle\hat T\rangle + \langle-{\bf r}\cdot\nabla\hat V\rangle$$ (3.32)

pour un état stationnaire où

$$\frac{d}{dt}\langle\hat{\bf r}\cdot\hat{\bf p}\rangle = 0$$ (3.33)

on obtient le théorème du viriel

$$2 \langle\hat T\rangle - \langle {\bf r}\cdot\nabla\hat V\rangle = 0$$ (3.34)

Si l'opérateur énergie potentielle $\hat V$ est une fonction homogène de degré $n$ des coordonnées $\lbrace{\bf r}\rbrace$ le théorème d'Euler^3.1permet d'écrire

$${\bf r}\cdot\nabla\hat V = n\hat V$$ (3.35)

et

$$2 \langle\hat T\rangle =n\langle\hat V\rangle$$ (3.36)

Pour un atome isolé l'opérateur $\hat V$ est de degré -1

$$2 \langle\hat T\rangle =-\langle\hat V\rangle$$ (3.37)