Les relations d'Ehrenfest

La première relation d'Ehrenfest est obtenue en choisissant $\hat A = {\bf r}$ :

$$m \lbrack \hat H, \hat {\bf r}\rbrack = \frac{\hbar}{\imath}(-\imath\hbar\nabla) = \frac{\hbar}{\imath}\hat {\bf p}$$ (3.24)

et

$$m\frac{d}{dt}\langle\hat {\bf r}\rangle = \langle\hat {\bf p}\rangle$$ (3.25)

Avec $\hat A = \hat {\bf p}$

$$\lbrack \hat H, \hat {\bf p}\rbrack = \imath\hbar\nabla \hat V({\bf r}) = -\imath\hbar \hat {\bf F}({\bf r})$$ (3.26)

et

$$\frac{d}{dt}\langle\hat {\bf p}\rangle = \langle\hat {\bf F}({\bf r})\rangle$$ (3.27)

dans cette expression, la deuxième relation d'Ehrenfest, $\hat {\bf F}({\bf r})$ est l'opérateur correspondant à la force.

En combinant ces deux relations, on obtient une équation analogue à l'équation de Newton :

$$m\frac{d^2}{dt^2}\langle\hat {\bf r}\rangle = \langle\hat {\bf F}({\bf r})\rangle$$ (3.28)