Les relations d'Heisenberg et d'Ehrenfest

La dérivée par rapport au temps de la valeur moyenne de l'observable $\hat A$ est donnée par la relation d'Heisenberg :

$$d\langle \hat A\rangle/dt = (\imath/\hbar)\langle\Psi\vert\l... ...ack\vert\Psi\rangle + \langle\partial \hat A/\partial t\rangle$$ (3.18)

En dérivant $\langle\Psi\vert \hat A\vert\Psi\rangle$ par rapport au temps on obtient :

$$\frac{d}{dt} \langle\Psi\vert \hat A\vert\Psi\rangle = \lang... ...gle\Psi\vert\frac{\partial \hat A}{\partial t}\vert\Psi\rangle$$ (3.19)

Les dérivées du bra et du ket sont évaluées directement à partir de l'équation de Schrödinger dépendant du temps

$$\hat H\vert\Psi\rangle = \imath\hbar\vert\frac{\partial\Psi}{\partial t} \rangle$$ (3.20)

et

$$\frac{d}{dt}\langle \hat A\rangle = \frac{\imath}{\hbar} \langle\Psi\vert \hat H \hat A\vert\Psi\rang... ...Psi\rangle + \langle\Psi\vert\frac{\partial \hat A}{\partial t}\vert\Psi\rangle$$ (3.21)

$$= \frac{\imath}{\hbar} \langle\Psi\vert\lbrack \hat H, \hat A\rbrac... ...Psi\rangle + \langle\Psi\vert\frac{\partial \hat A}{\partial t}\vert\Psi\rangle$$ (3.22)

Une observable $\hat B$ telle que

$$\lbrack \hat H, \hat B\rbrack = 0, \qquad\qquad\qquad \partial \hat B/\partial t = 0$$ (3.23)

est appelée constante du mouvement.