Exercice III.

On considère un système constituée de deux particules de masse $m_1$ et $m_2$ repérées par les vecteurs position ${\bf r}_1$ et ${\bf r}_2$. On appellera ${\bf R}$ le vecteur position du centre de gravité et ${\bf r}$ le vecteur ${\bf r}_2 - {\bf r}_1$. On supposera également que ce système est soumis à un potentiel interne $V(\vert {\bf r}_2 - {\bf r}_1 \vert)$

1. En faisant l'hypothèse que la fonction d'onde de ce système peut s'écrire
   

   $$\Phi ({\bf R},{\bf r}) = \Psi ({\bf r})\chi ({\bf R})$$ (2.88)

   
   

2. Écrire les équations différentielles permettant de déterminer les fonctions $\Psi$ et $\chi$.
3. Écrire l'équation correspondant à $\Psi ({\bf r})$ en coordonnées sphériques en choisissant le centre de gravité $O$ comme origine, les angles $\theta$ et $\phi$ sont les angle polaires de l'axe du système par rapport à un trièdre arbitraire ayant $O$ pour origine.
4. Montrer que l'opérateur $H_{\bf r}$ peut s'écrire
   

   $$H_{\bf r} = H (r) + {1 \over 2 M r^2} L^2$$ (2.89)

   
   

5. Donner l'expression des valeurs propres et des fonctions propres de cet opérateur dans le cas du rotateur rigide ($r=r_0$)
6. On notera les états du rotateur rigide $\vert JM \rangle$. L'intensité des transitions dipolaires entre les états $\vert JM \rangle$ et $\vert J^\prime M^\prime \rangle$ est proportionelle au carré de l'élément de matrice $\langle JM \vert Y_1^0 \vert J^\prime M^\prime \rangle$
7. déduire les valeurs de $J^\prime$ et de $M^\prime$ en fonction de $J$ et $M$ pour lesquelles cette transition est active.