Polynômes de Legendre.

Les polynômes de Legendre sont les solutions régulières pour $x=0$ de l'équation différentielle

$$(1-x^2)y^{\prime\prime} - 2xy^\prime + \ell (\ell + 1) y = 0$$ (2.65)

Ces polynômes ont pour expression

$$P_\ell (x) = { 1 \over {2^\ell \ell!}} {d^\ell \over dx^\ell} (x^2 -1)^\ell$$ (2.66)

Ces polynômes sont orthogonaux dans l'intervalle (-1,1)

$$\int\limits_{-1}^1 P_\ell (x) P_k (x) ={2\delta_{k\ell}\over {2\ell + 1}}$$ (2.67)

les six premiers polynômes sont les suivants :

$$P_0 =1 \hskip 2 true cm P_1 = x$$ (2.68)

$$P_2 ={1 \over 2} (3x^2-1) \hskip 2 true cm P_3={1\over 2}(5x^3-3x)$$ (2.69)

$$P_4 ={1 \over 8} (35x^4 - 30x^2 +3) \hskip 2 true cm P_5 ={1\over 8}(63x^5 - 70x^3 +15x)$$ (2.70)