Représentation des opérateurs par des matrices.

Si $F$ est un opérateur différentiel hermitique ses fonctions propres $\phi_i$ forment un ensemble complet et orthogonal. Introduisons deux autres opérateurs $M$ et $N$ agissant sur le même espace que $L$, on définit alors les éléments de matrice:

$$M_{ij} = \int \phi_i^\ast M \phi_j d\tau = \langle i \vert M \vert j \rangle$$ (2.46)

et

$$N_{ij} = \langle i \vert N \vert j \rangle$$ (2.47)

Une propriété intéressante de ces matrices est que les équations valables pour les opérateurs $M$ et $N$ le sont également pour M et N, en particulier si $M$ et $N$ sont linéaires:

$$(M+N)_{ij} = M_{ij} + N_{ij}$$ (2.48)

$$(MN)_{ij} = \sum_s M_{is}N_{sj}$$ (2.49)

Démonstration : $N$ étant un opérateur hermitique ses fonctions propres forment une base complète. En développant $N \vert j \rangle$ sur cette base que l'on aura normée au préalable

$$N \vert j \rangle = \sum_t a_{tj}\vert t \rangle$$ (2.50)

et en multipliant à gauche par $\langle s \vert$ il vient:

$$\langle s \vert N \vert j \rangle = \sum_t a_{tj} \langle s \vert t \rangle = a_{sj}$$ (2.51)

donc

$$N \vert j \rangle = \sum_s \vert s \rangle \langle s \vert N \vert j \rangle$$ (2.52)

et

$$(MN)_{ij} = \sum_s \langle i \vert M \vert s \rangle \langle s \vert N \vert j \rangle$$ (2.53)

Si l'opérateur $M$ est hermitique la matrice correspondante est hermitique.