Expression matricielle des opérateurs.

Les $2j + 1$ fonctions propres de $J_z$ forment une base complète du sous espace ${\cal E}(j,m)$. On peut représenter les kets $\vert k, j, m \rangle$ par des vecteurs colonne unitaires dont les composantes sont nulles à l'exception de celle qui correspond à $m$. En ordonnant les kets $\vert k, j, m \rangle$ en fonction de $m$ et en désignant l'indice de ligne par $i$, les composantes $a_i$ de $\vert k, j, m \rangle$ ont pour expression :

$$a_i = \delta_{i, j+m+1}$$ (2.54)

ce qui permet de calculer très facilement les différents éléments de matrice.

Élément de matrice de $J^2$ :

$$(J^2)_{st} = \langle k, j, s-j-1\vert J^2\vert k, j, t-j-1\rangle = \hbar^2 j(j+1) \delta_{st}$$ (2.55)

Élément de matrice de $J_z$ :

$$(J_z)_{st} = \langle k, j, s-j-1\vert J_z\vert k, j, t-j-1\rangle = \hbar (t-j-1) \delta_{st}$$ (2.56)

Élément de matrice de $J_+$ :

$$(J_+)_{st} = \langle k, j, s-j-1\vert J_+\vert k, j, t-j-1\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-(t-j)(t-j-1)}\delta_{s-1,t}$$ (2.57)

Élément de matrice de $J_-$ :

$$(J_-)_{st} = \langle k, j, s-j-1\vert J_-\vert k, j, t-j-1\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-(t-j-2)(t-j-1)}\delta_{s,t-1}$$ (2.58)

Élément de matrice de $J_x$ :

$$(J_x)_{st} = \frac{1}{2}\big((J_+)_{st} + (J_-)_{st} \big)$$ (2.59)

Élément de matrice de $J_y$ :

$$(J_y)_{st} = -\frac{\imath}{2}\big((J_+)_{st} - (J_-)_{st} \big)$$ (2.60)