Représentation standard des états.

Dans le cas général, les valeurs propres de $J^2$ s'écrivent sous la forme $j(j+1)\hbar^2$ et les valeurs propres de $J_z$ $m\hbar$. Dans la représentation standard la fonction propre de $H$ correspondante est notée $\vert k, j, m \rangle$. Les $2j + 1$ fonctions orthonormées $\{ \vert k, j, m \rangle ; -j\geq m \leq j \}$ forment une base complète du sous espace vectoriel ${\cal E}(j,m)$. Pour ce sous espace

$$\sum_{m=-j}^{j} \vert k, j, m \rangle\langle k, j, m \vert = 1$$ (2.39)

Les kets $\vert k, j, m+1 \rangle$ et $\vert k, j, m-1 \rangle$ sont construits en appliquant $J_+$ et $J_-$ à $\vert k, j, m \rangle$ :

$$J_+\vert k, j, m \rangle = N_+^{1/2} \vert k, j, m+1 \rangle$$ (2.40)

$$J_-\vert k, j, m \rangle = N_-^{1/2} \vert k, j, m-1 \rangle$$ (2.41)

où $N_+$ et $N_-$ sont des constantes de normalisation. En multipliant à gauche par les quantités conjuguées, il vient :

$$\langle k, j, m \vert J_-J_+ \vert k, j, m \rangle = \langle k, j, m \vert J^2 - J_z^2 - \hbar J_z \vert k, j, m \rangle = (j(j+1) - m(m+1))\hbar^2 = N_+$$ (2.42)

$$\langle k, j, m \vert J_+J_- \vert k, j, m \rangle = \langle k, j, m \vert J^2 - J_z^2 + \hbar J_z \vert k, j, m \rangle = (j(j+1) - m(m-1))\hbar^2 = N_-$$ (2.43)

et

$$J_+\vert k, j, m \rangle = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m+1)}\vert k, j, m+1\rangle$$ (2.44)

$$J_-\vert k, j, m \rangle = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m-1)}\vert k, j, m-1\rangle$$ (2.45)