Hermiticité

L'opérateur L est un opérateur hermitique, en effet pour l'une quelconque de ses composantes, $L_z$ par exemple, on peut établir la relation d'hermiticité :

$$\int v^\ast L_z u dxdydz = \int ( L_z^\ast v^\ast ) u dxdydz$$ (2.10)

où $u$ et $v$ sont des fonctions de carré sommable :

$$\int v^\ast L_z u dxdydz = -\imath\hbar\big[ \int v^\ast x \frac{du}{dy} dxdydz - \int v^\ast y \frac{du}{dx} dxdydz \big]$$

$$= -\imath\hbar\big[\int v^\ast xu dxdz \big]_{-\infty}^{\infty} + \imath\hbar\int x (\frac{dv^\ast}{dy}) u dxdydz$$

$$-\imath\hbar\big[\int v^\ast yu dydz\big]_{-\infty}^{\infty} + \imath\hbar\int y (\frac{dv^\ast}{dx}) u dxdydz$$

$$= \int ( L_z^\ast v^\ast ) u dxdydz$$ (2.11)

Les valeurs propres de $L_x, L_y$ et $L_z$ sont réelles, de même que celles de $L^2$ qui est lui aussi hermitique.