Relations de commutation.

On peut établir facilement les relations de commutation :

$$\lbrack L_x,L_y\rbrack = \imath\hbar L_z, \mbox{\hspace{1 cm... ...mbox{\hspace{1 cm}} \lbrack L_z,L_x\rbrack = \imath\hbar L_y.$$ (2.5)

Dans le cas de la première relation on a :

$$\lbrack L_x,L_y\rbrack = L_xL_y - L_yL_x$$

$$= -\hbar^2\{ y\frac{\partial}{\partial z}z\frac{\partial}{\partial ... ...partial}{\partial y} + x\frac{\partial}{\partial z}y\frac{\partial}{\partial z}$$

$$- x\frac{\partial}{\partial z}z\frac{\partial}{\partial y} \}$$

$$= -\hbar^2\{ yz\frac{\partial^2}{\partial x\partial z} + y\frac{\pa... ... z^2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} + xy\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

$$- x\frac{\partial}{\partial y} - xz\frac{\partial^2}{\partial y\partial z} \}$$

$$= -\hbar^2\{ y\frac{\partial}{\partial x} - x\frac{\partial}{\partial y} \} = \imath\hbar L_z$$ (2.6)

L'opérateur $L^2$ commute avec les composantes de L, en effet

$$L^2L_x -L_xL^2 =L_x^3 + L_y^2L_x + L_z^2L_x - L_x^3 - L_xL_y^2 - L_xL_z^2$$ (2.7)

et

$$L_y^2L_x = L_yL_xL_y - \imath\hbar L_yL_z$$

$$L_xL_y^2 = L_yL_xL_y + \imath\hbar L_zL_y$$ (2.8)

Des relations semblables peuvent être obtenues avec $L_z^2L_x$ et $L_xL_z^2$ qui une fois substituées dans l'expression de $\lbrack L^2,L_x \rbrack$ permettent d'établir la démonstration donc :

$$\lbrack L^2,L_x\rbrack = \lbrack L^2,L_y\rbrack = \lbrack L^2,L_z\rbrack = 0$$ (2.9)