Fonctions propres et vecteurs propres.

La base $\lbrace \phi_s \rbrace$ étant complète on peut associer $\vert f \rangle$ à une fonction $f$:

$$\vert f \rangle =\sum_s a_s\phi_s$$ (1.92)

les coefficients $a_s$ sont les composantes du vecteur $\vert f \rangle$.

Si la fonction $f$ est normée le vecteur $\vert f \rangle$ est un vecteur unitaire:

$$1=\int f^\ast f d\tau = \sum_{st} a_s^\ast \phi_s^\ast a_t \... ...elta_{st} =\sum_{st} a_s^\ast a_s = \langle f \vert f \rangle$$ (1.93)

Les intégrales du type $\int f^\ast P f d\tau$ peuvent être exprimées dans cette notation:

$$\int f^\ast P f d\tau = \langle f \vert P \vert f \rangle$$ (1.94)

Si $f$ est fonction propre de $P$, $\vert f \rangle$ est vecteur propre de $\bf P$

$$({\bf P} - {\bf p} )\vert f \rangle = {\bf0}$$ (1.95)