Représentation des opérateurs par des matrices.

Si $F$ est un opérateur différentiel hermitien ses fonctions propres $\phi_i$ forment un ensemble complet et orthogonal. Introduisons deux autres opérateurs $M$ et $N$ agissant sur le même espace que $L$, on définit alors les éléments de matrice:

$$M_{ij} = \int \phi_i^\ast M \phi_j d\tau = \langle i \vert M \vert j \rangle$$ (1.84)

et

$$N_{ij} = \langle i \vert N \vert j \rangle$$ (1.85)

Une propriété intéressante de ces matrices est que les équations valables pour les opérateurs $M$ et $N$ le sont également pour M et N, en particulier si $M$ et $N$ sont linéaires:

$$(M+N)_{ij} = M_{ij} + N_{ij}$$ (1.86)

$$(MN)_{ij} = \sum_s M_{is}N_{sj}$$ (1.87)

Démonstration: $L$ étant un opérateur hermitien ses fonctions propres forment une base complète, développons $N \vert j \rangle$ sur cette base que l'on aura normée au préalable

$$N \vert j \rangle = \sum_t a_{tj}\vert t \rangle$$ (1.88)

en multipliant à gauche par $\langle s \vert$ il vient:

$$\langle s \vert N \vert j \rangle = \sum_t a_{tj} \langle s \vert t \rangle = a_{sj}$$ (1.89)

donc

$$N \vert j \rangle = \sum_s \vert s \rangle \langle s \vert N \vert j \rangle$$ (1.90)

et

$$(MN)_{ij} = \sum_s \langle i \vert M \vert s \rangle \langle s \vert N \vert j \rangle$$ (1.91)

Si l'opérateur $M$ est hermitien la matrice correspondante est hermitienne.