Opérateurs de projection.

Les vecteurs $\vert 1 \rangle , \vert 2 \rangle ,\dots,\vert n \rangle$ formant une base complète de dimension $n$ pour le sous espace $\cal S$, on définit l'opérateur de projection $P_s$:

$$P_s = \sum\limits_{i=1}^n \vert i \rangle \langle i \vert$$ (1.96)

$P_s$ est un opérateur hermitien. Si l'on considère un vecteur $\vert u \rangle$ de l'espace de Hilbert

$$\langle u \vert u \rangle \geq \langle u \vert P_s \vert u \rangle \geq 0$$ (1.97)

Si

$$\langle u \vert P_s \vert u \rangle = 0$$ (1.98)

$\vert u \rangle$ appartient au complément de $\cal S$

Si

$$\langle u \vert P_s \vert u \rangle = \langle u \vert u \rangle$$ (1.99)

$\vert u \rangle$ appartient à $\cal S$.