Espace vectoriel norme, espace prehilbertien.

Définition: Soit E un espace vectoriel sur le corps des complexes, ayant pour éléments (vecteurs) $X,Y,\dots$. On dit que cet espace est normé si à chaque vecteur $X$ correspond un nombre réel, noté $\parallel X \parallel$, tel que

$$\parallel X \parallel >0 \hskip 1 cm \hbox{ si } \hskip 1 cm X\neq\theta$$ (1.60)

$$\parallel \theta \parallel = 0$$ (1.61)

$$\parallel mX \parallel = \vert m \vert \dot \parallel X \parallel \hskip 1 cm m \hbox{ nombre complexe arbitraire}$$ (1.62)

$$\parallel X+Y \parallel \leq \parallel X \parallel + \parallel Y \parallel \hskip 1 cm \hbox{inégalité triangulaire}$$ (1.63)

$\parallel X \parallel$ s'appelle norme du vecteur $X$.

On dit que l'espace vectoriel E est préhilbertien si l'on a définit dans E un produit scalaire. A chaque couple d'éléments $X$ et $Y$ correspond un nombre complexe $(X,Y)$ possédant les propriétés suivantes:

$$( \alpha X,Y) = \alpha (X,Y) \hskip 1 cm \forall \alpha \hbox{ complexe }$$ (1.64)

$$(X_1+X_2,Y)=(X_1,Y)+(X_2,Y)$$ (1.65)

$$(Y,X)=(X,Y)^\ast \hskip 1 cm ^\ast \hbox{complexe conjugué}$$ (1.66)

$$(\theta,\theta) = 0$$ (1.67)

$$(X,X) > 0 \hskip 1 cm \hbox{pour tout } X \neq \theta$$ (1.68)

Un espace hilberien est un espace préhilbertien complet, un espace préhilbertien de dimension finie s'appelle espace hermitien s'il est complexe et espace euclidien s'il est réel.

Le produit scalaire est utilisé pour définir la norme:

$$\parallel X \parallel = \lbrack (X,X) \rbrack^{1/2}$$ (1.69)