Espace vectoriel.

On appelle espace vectoriel sur le corps $K$ un ensemble E ayant les propriétés suivantes:

1. On peut définir l'addition $X_1+X_2$ de deux éléments de E. C'est une opération qui fournit un nouvel élément de E, et telle que:
   1. $X_1+X_2=X_2+X_1$ commutativité
   2. $X_1+(X_2+X_3)=(X_1+X_2)+X_3$ associativité
   3. Il existe un élément nul $\theta$ tel que, pour tout $X$.
      

      $$X+\theta=X$$ (1.50)

      
      

   4. à tout élément $X$ on peut faire correspondre un élément opposé $-X$
      

      $$X+(-X)=\theta$$ (1.51)

      
      

2. On peut définir le produit $\alpha X$ d'un élément $X$ de E par un élément $\alpha$ du corps $K$, c'est un élément de E tel que
   1. 
      

      $$\alpha (X_1+X_2) = \alpha X_1 +\alpha X_2$$ (1.52)

      
      

   2. 
      

      $$(m_1+m_2)X= m_1X+m_2X$$ (1.53)

      
      

   3. 
      

      $$m_1(m_2X)=(m_1m_2)X$$ (1.54)

      
      

   4. 
      

      $$0X=\theta$$ (1.55)

      
      

   5. 
      

      $$mX=\theta \hskip 1 true cm \hbox{alors} \hskip 1 true cm X=\theta$$ (1.56)

      
      

Les élément d'un espace vectoriel sont linéairement dépendants s'il existe $n$ éléments $m_1, m_2, \dots$, du corps $K$ non tous nuls et tel que:

$$m_1X_1+m_2X_2+ \cdots +m_nX_n =\theta$$ (1.57)

dans le cas contraire les éléments de E sont linéairement indépendants et

$$\sum\limits_{i=1}^n m_iX_i = \theta$$ (1.58)

implique que:

$$m_1=m_2=\cdots =m_n=0$$ (1.59)

On dit qu'un espace vectoriel est un espace de dimension $n$ si l'on peut trouver $n$ éléments linéairement indépendants mais si $n+1$ éléments sont toujours linéairement dépendants.

Un ensemble S d'éléments (vecteurs) linéairement indépendants forment une base de l'espace vectoriel E si tout élément de E dépend linéairement des vecteurs de S.