Les fonctions de spin

Dans la théorie classique du spin électronique on introduit une variable de spin $\sigma$ qui ne peut prendre que les valeurs discrètes

$$\sigma = \pm \frac{1}{2}$$ (2.124)

et deux fonctions de spin $\alpha(\sigma)$ et $\beta(\sigma)$, qui forment une base complète et ont pour valeur :

$$\alpha(\frac{1}{2}) = 1 \mbox{\hspace*{2cm}} \alpha(-\frac{1}{2}) = 0$$

$$\beta(\frac{1}{2}) = 0 \mbox{\hspace*{2cm}} \beta(-\frac{1}{2}) = 1$$ (2.125)

Ces fonctions sont orthonormées :

$$\int \alpha (\sigma) \alpha (\sigma) d\sigma = \sum\limits_\sigma \alpha^2(\sigma) = 0^2 + 1^2 =1$$

$$\int \beta (\sigma) \beta (\sigma) d\sigma = \sum\limits_\sigma \beta^2(\sigma) = 1^2 + 0^2 =1$$

$$\int \alpha (\sigma) \beta (\sigma) d\sigma = \sum\limits_\sigma \alpha (\sigma)\beta (\sigma) = 0 \times 1 + 1 \times 0 =0$$ (2.126)

et sont fonctions propres des opérateurs $s^2$ et $s_z$

$$s^2\alpha (\sigma) = \frac{3}{4}\hbar^2\alpha (\sigma) \mbox{\hspace*{2cm}} s_z\alpha (\sigma) = \frac{1}{2}\hbar\alpha (\sigma)$$

$$s^2\beta (\sigma) = \frac{3}{4}\hbar^2\beta (\sigma) \mbox{\hspace*{2cm}} s_z\beta (\sigma) = -\frac{1}{2}\hbar\beta (\sigma)$$ (2.127)