Fonctions radiales des hydrogénoïdes

Les fonctions radiales des hydrogénoïdes peuvent être calculées à partir de la relation de récurrence donnée plus haut, un traitement mathématique plus élaboré permet d'obtenir la solution générale :

$$R_{nl} (r) = \sqrt{\frac{4(n-l-1)!Z^3}{a_0^3 n^4\lbrack(n+l... ...igl)^l\exp{-\frac{Zr}{na_0}}L^{2l+1}_{n+l} (\frac{2Zr}{na_0})$$ (2.120)

où

$$a_0 = \frac{\hbar^2}{\mu e^2} = 0,52917715 10^{-10} \mbox{m}$$ (2.121)

et $L^l_n$ désigne le polynôme associé de Laguerre d'ordre $n$ et de degré $l$. Les expressions des différentes fonctions radiales, jusqu'à $4f$ sont données dans le tableau ci-dessous.

$$R(1s)=2\exp{-r} \mbox{\hspace*{3cm}} R(3p) = \frac{8}{27\sqrt{6}}r(1-\frac{r}{6})\exp{-r/3}$$

$$R(2s=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-\frac{r}{2})\exp{-r/2} R(4p)=\frac{1}{16}\sqrt{\frac{5}{3}}r(1-\frac{r}{4}+\frac{r^2}{80})\exp{-r/4}$$ (2.122)

$$R(3s)=\frac{2}{3\sqrt{3}}(1-\frac{2r}{3}+\frac{2r^2}{27})\exp{-r/3} R(3d)=\frac{4}{81\sqrt{30}}r^2\exp{-r/3}$$

$$R(4s)=\frac{1}{4}(1-\frac{3r}{4}+\frac{r^2}{8}-\frac{r^3}{192})\exp{-r/4} R(4d)=\frac{1}{64\sqrt{5}}r^2(1-\frac{r}{12}\exp{-r/4}$$

$$R(2p)=\frac{2}{\sqrt{6}}r\exp{-r/2} R(4f)=\frac{1}{768\sqrt{35}}r^3\exp{-r/4}$$ (2.123)