Produit d'harmoniques sphériques.

Le produit de deux harmoniques sphériques de même variables $\theta$ et $\phi$ est écrit généralement sous la forme d'une somme faisant intervenir les coefficients de Clebsch Gordan, nous proposons ici une formule équivalente où des sommes intermédiaires ont été effectuées :

$$Y_\ell^m (\theta, \phi ) Y_{\ell^\prime}^{m^\prime} (\theta,... ...L C_{L \ell \ell^\prime}^{M m m^\prime} Y_L^M (\theta, \phi )$$ (2.83)

avec $M = m + m^\prime$ et $\vert \ell + \ell^\prime\vert \leq L \leq \ell + \ell^\prime$

Les $C_{L \ell \ell^\prime}^{M m m^\prime}$ avec $L$ de parité différente que $\ell + \ell^\prime$ sont nuls.

Exemples

$$Y_0^0 Y_0^0 = \sqrt {1 \over 4 \pi} Y_0^0$$ (2.84)

$$Y_0^0 Y_\ell^0 = \sqrt {1 \over 4 \pi} Y_\ell^0$$ (2.85)

$$Y_1^0 Y_1^0 = \sqrt {1 \over 5 \pi} Y_2^0 + \sqrt {1 \over 4 \pi} Y_0^0$$ (2.86)