Harmoniques sphériques.

Les harmoniques sphériques notées $Y_\ell^m$ sont les solutions de l'équation différentielle

$$-\lbrack{1\over\sin\theta}{\partial\over\partial\theta} (\s... ...^2} \rbrack Y(\theta, \phi) = \ell (\ell + 1) Y(\theta, \phi)$$ (2.73)

Les variables $\theta$ et $\phi$ sont les coordonnées angulaires du système de coordonnées sphériques.

Cette équation est l'équation aux valeurs propres du moment orbital.

Les solutions sont de la forme

$$Y_\ell^m (\theta, \phi) = \left[ {(2\ell + 1)(\ell - \vert m... ...right]^{1\over 2} P_\ell^m (\cos \theta ) \exp {\imath m\phi}$$ (2.74)

Ces fonctions sont orthonormées

$$\int\limits_0^\pi \int\limits_0^{2\pi} Y_\ell^{m\ast} Y_{\el... ...a d\theta d\phi = \delta_{\ell\ell^\prime} \delta_{mm^\prime}$$ (2.75)

On peut utiliser les formes réelles des harmoniques sphériques ou harmoniques téssérales

$${\cal Y}_\ell^m (\theta, \phi) = \left[ {(2\ell + 1)(\ell - ... ...r 2} P_\ell^m (\cos \theta ) \cos { m\phi} \hskip 1 cm m\geq 0$$ (2.76)

Pour $m<0$ $\cos m\phi$ est remplacé par $\sin m\phi$ true cm