Valeurs propres des opérateurs $J_z$ et $J^2$.

Comme nous l'avons démontré précédement si $\vert \varphi \rangle$ est fonction propre de $J^2$ et de $J_z$, $J_+^n\vert \varphi\rangle$ et $J_-^n\vert \varphi\rangle$, le sont aussi :

$$J^2J_+^n\vert \varphi\rangle = cJ^2J_+^n\vert \varphi\rangle \hbox{\hspace {1 cm}} J_zJ_+^n\vert \varphi\rangle = (a+n\hbar J_+^n\vert \varphi\rangle$$

$$J^2J_-^n\vert \varphi\rangle = cJ^2J_-^n\vert \varphi\rangle \hbox{\hspace {1 cm}} J_zJ_-^n\vert \varphi\rangle = (a-n\hbar J_-^n\vert \varphi\rangle$$ (2.23)

En substituant $J^2$ par ses expressions en fonction des produits d'opérateurs $J_+J_-$ et $J_-J_+$ déduites des équations 2.21 et 2.22 :

$$J^2 = J_+J_- + J^2_z - \hbar J_z$$

$$J^2 = J_-J_+ + J^2_z + \hbar J_z$$ (2.24)

on obtient pour $n=0$

$$J^2\vert \varphi\rangle = (J_+J_- + J^2_z - \hbar J_z)\vert \varphi\rangle = (J_+J_- + a^2 - a\hbar)\vert \varphi\rangle = c\vert \varphi\rangle$$

$$= (J_-J_+ + J^2_z + \hbar J_z)\vert \varphi\rangle = (J_-J_+ + a^2 + a\hbar)\vert \varphi\rangle = c\vert \varphi\rangle$$ (2.25)

En multipliant à gauche par le bra $\langle\varphi\vert$ il vient :

$$c = \langle\varphi\vert J_+J_-\vert \varphi\rangle + a^2 - a\hbar$$

$$= \langle\varphi\vert J_-J_+\vert \varphi\rangle + a^2 + a\hbar$$ (2.26)

donc,

$$(c-a^2+a\hbar) = \langle\varphi\vert J_+J_-\vert \varphi\rangle$$

$$(c-a^2-a\hbar) = \langle\varphi\vert J_-J_+\vert \varphi\rangle$$ (2.27)

$J_+$ et $J_-$ étant complexes conjugués l'un de l'autre, il en est de même pour $J_-\vert \varphi\rangle$ et $\langle\varphi\vert J_+$ d'une part et $J_+\vert \varphi\rangle$ et $\langle\varphi\vert J_-$ d'autre part et les produits scalaires $\langle\varphi\vert J_+J_-\vert \varphi\rangle$ et $\langle\varphi\vert J_-J_+\vert \varphi\rangle$ sont positifs ou nuls ce qui conduits aux inégalités :

$$(c-a^2+a\hbar)\geq 0, \hbox{\hspace{1 cm}} (c-a^2-a\hbar)\geq 0$$ (2.28)

Ces inégalités impliquent qu'il existe une valeur maximale, $A$ de la valeur propre $a$ de façon à satisfaire $(c-a^2-a\hbar)\geq 0$ pour $a\geq 0$ et une valeur minimale, $B$, pour $a\leq 0$. Ces valeurs propres correspondent aux foctions propres $\vert \psi_A \rangle$ et $\vert \psi_B \rangle$ :

$$J_z \vert \psi_A \rangle = A\vert \psi_A \rangle$$

$$J_z \vert \psi_B \rangle = B\vert \psi_B \rangle$$ (2.29)

$A$ étant la plus grande et $B$ la plus petite valeur propre

$$J_+\vert \psi_A \rangle = J_-\vert \psi_B \rangle = 0$$ (2.30)

Si les relations ci dessus n'étaient pas satisfaites, alors il existerait une valeur propre supérieure à $A$ et une valeur propre inférieure à $B$ ce qui est contraire aux inégalités de l'équation 2.28. Ces relations impliquent également :

$$c-A^2-A\hbar = 0$$

$$c-B^2+B\hbar = c-B^2 -\vert B\vert\hbar = 0$$ (2.31)

ce qui entraîne $B=-A$. le spectre des valeurs propres est donc

$$-A, -A+\hbar, -A+2\hbar, \ldots, A-2\hbar, A-\hbar, A$$ (2.32)

et

$$2A = N\hbar$$ (2.33)

où $N$ est un entier. Il existe deux types de valeurs propres selon que $N$ est pair ou impair

Dans le premier cas $N=2\ell$ et $A=\ell\hbar$ on a la suite de valeurs propres :

$$ell\hbar, (-\ell + 1)\hbar, \ldots, -\hbar, 0, \hbar, \ldots, \ell \hbar$$ (2.34)

Dans le second cas $N=2m+1$ et $A=(m+{1\over 2})\hbar$. La séquence des valeurs propres est :

$$m +{1\over 2} )\hbar, \ldots, -{1\over 2} \hbar, {1\over 2} \hbar, \ldots, (m +{1\over 2}) \hbar$$ (2.35)

Pour calculer les valeurs propres correspondantes de $J^2$ on utilisera la relation

$$A = - {\hbar\over 2} - c + {\hbar^2\over 4}$$

$$c = A^2 + A\hbar = A(A+\hbar )$$ (2.36)

Dans le cas de la première série de valeurs propres contenant 0 et dont le moment orbital L est un exemple physique

$$c = \ell (\ell + 1 )\hbar^2$$ (2.37)

dans l'autre cas auquel correspond par exemple le spin électronique

$$c = (m + {1\over 2})(m + {3\over 2}) \hbar^2$$ (2.38)