Exercices

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1. Montrer que les fonctions de la forme $f(x) = c_1 \sin {kx} + c_2 \cos {kx}$ sont fonctions propres de l'opérateur ${ d^2 \over { dx^2}}$
2. Si l'on impose les conditions $f (0) = 0$ et $f (\ell) = 0$ montrer que les valeurs propres sont discrètes.
3. Montrer que ${d \over {dx}}$ n'est pas un opérateur hermitien.
4. Montrer que ${ d^2 \over { dx^2}}$ est hermitien.
5. Démontrer que les valeurs propres d'un opérateur hermitien sont réelles.
6. Calculer les coefficients du développement d'une fonction de carré sommable sur une base orthonormalisée.
7. On considère trois fonctions propres dégénérées linéairement indépendantes mais non orthogonales, trouver une combinaison linéaire qui les orthonormalise. Ces trois nouvelles fonctions sont elles fonction propres? sont-elles dans ce cas dégénérées?