Démonstration

$$A\varphi_\lambda = a_\lambda \varphi_\lambda$$ (1.39)

$$A\varphi_\mu = a_\mu \varphi_\mu$$ (1.40)

$$A\varphi_\mu^\ast = a_\mu^\ast \varphi_\mu^\ast$$ (1.41)

$A$ étant hermitien $a_\lambda$ et $a_\mu$ sont réelles

$$\int \varphi^\ast_\mu A \varphi_\lambda d\tau = a_\lambda \int \varphi^\ast_\mu \varphi_\lambda d\tau$$ (1.42)

d'autre part

$$\int \varphi^\ast_\mu A \varphi_\lambda d\tau = \int A^\ast ... ...bda d\tau = a_\mu \int \varphi^\ast_\mu \varphi_\lambda d\tau$$ (1.43)

donc

$$a_\lambda \int \varphi^\ast_\mu \varphi_\lambda d\tau = a_\mu \int \varphi^\ast_\mu \varphi_\lambda d\tau$$ (1.44)

Cette égalité ne peut être vérifiée que si

$$a_\mu = a_\lambda \quad \quad {ou} \int \varphi^\ast_\mu \varphi_\lambda d\tau = 0$$ (1.45)

On appelle ensemble complet un ensemble de fonctions de mêmes variables et de carré sommable $\lbrace \psi_1, \psi_2, \ldots \rbrace$ tel que pour toute fonction $f$ de mêmes variables et de carré sommable

$$f = \sum\limits_{s=1}^\infty c_s \psi_s$$ (1.46)

Théorème : Les fonctions propres d'un opérateur hermitien forment un ensemble complet. Cet ensemble est également appelé base.