Exemple :

La fonction d'onde exacte de l'état fondamental d'un ion hydrogénoïde est $\left(\frac{Z^3}{\pi}\right)^{1/2}\exp{(-Zr)}$, l'énergie de cet état est $-\frac{Z^2}{2}$. Pour retrouver ces résultats à partir du principe variationnel, on choisit une fonction d'onde d'essai

$$\vert \Phi\rangle = \left(\frac{\zeta^3}{\pi}\right)^{1/2}\exp{(-\zeta r)}$$ (3.109)

où $\zeta$ est le paramètre à optimiser

$$\langle\Phi\vert\hat H \vert \Phi\rangle = \frac{1}{2}\zeta^2 - Z\zeta$$ (3.110)

et

$$\frac{\partial}{\partial\zeta}\langle\Phi\vert\hat H \vert \Phi\rangle = \zeta - Z$$ (3.111)

la valeur optimale de $\zeta$ est $Z$, ce qui permet de retrouver la fonction d'onde exacte.