Equation générale

Prenons l'équilibre d'un acide $AH$ avec sa base conjugée $A^-$ et les ions $H_3O^+$

$$AH + H_2O = A^- + H_3O^+$$ (1)

Après dissolution d'une concentration intiale $c$ (= quantité de matière $n$ sur volume $V$) de l'acide $AH$, il y a alors les espèces $AH$, $A^-$, $H_3O^+$ et $OH^-$ dans des concentrations, qui dépendent de $c$, de la constante d'équilibre spécifique $K_a$ et de la constante de l'autodissociation de l'eau, $K_e$.

Si l'on néglige la présence des ions $OH^-$ et l'autodissociation de l'eau le tableau d'avancement de la réaction s'écrit comme

$$\begin{minipage}{10 cm} \begin{table} \begin{tabular}{lccc}... ...a c$ & $\alpha c$ \\ \end{tabular}\end{table}\end{minipage}$$

En utilisant le définition de la constante de l'acidité $K_a$ nous pouvons commencer directement à calculer le pH d'une solution de concentration intiale $c$ :

$$K_a = {{\left[A^-\right]\cdot\left[H_3O^+\right]}\over{\left[AH\right]}}= {{\alpha^2 c}\over{1-\alpha}}$$ (2)

$$\alpha^2 = {{K_a}\over{c}}-\alpha {{K_a}\over{c}} \leftrightarrow \ \... ...alpha=-{{K_a}\over{2 c}} \pm \sqrt{ {{K_a^2}\over{4 c^2}} + {{K_a}\over{c}} }$$ (3)

$$\left[H_3O^+\right] = \alpha c = -{{K_a}\over{2}}+ \sqrt{ {{K_a^2}\over{4}} + K_a c }$$ (4)

Pour ne pas négliger l'équilibre $2H_2O = H_3O^+ + OH^-$ nous devrons inclure les ions $OH^-$ dans le raisonnement; nous disposons ainsi de quatres équations pour travailler :

$$K_a = \ {{\left[A^-\right]\cdot\left[H_3O^+\right]}\over{\left[AH\right]}} \ \qquad\qquad {\text{la d\'efinition de }K_a}$$ (5)

$$c = \left[AH\right] + \left[A^-\right] \qquad\qquad {\text{la conservation de la masse}}$$ (6)

$$K_e = \left[OH^-\right]\cdot\left[H_3O^+\right] = 10^{-14} \ {\rm l'autodissociation de l'eau}$$ (7)

$$\left[H_3O^+\right] = \left[OH^-\right] + \left[A^-\right] \ {\rm la conservation de la\ charge}$$ (8)

Un piège est l'équation 8, elle n'est valable que dans le cas d'un acide, où $[H_3O^+]$ est plus grand que $[OH^-]$, puisque $[A^-]>0$.

De ces quatre équation nous éliminons $[A^-]$, $[OH^-]$ et $[AH]$ pour ne garder que $[H_3O^+]$, $c$, $K_e$ et $K_a$, c'est-à-dire le pH, la condition initiale $c$ et des constantes. Eq. 8 devient avec éq. 7

$$[A^-]= [H_3O^+] - {{K_e}\over{[H_3O^+]}}$$

et éq. 6 avec éq. 5

$$c-[A^-] = {{[H_3O^+][A^-]}\over{K_a}} \leftrightarrow c K_a = \left( [H_3O^+] + K_a\right) [A^-]\qquad .$$

Ces deux dernières équations ensemble donnent

$$[H_3O^+]- {{K_e}\over{[H_3O^+]}} = {{c K_a}\over{[H_3O^+]+K_a}}$$

ou bien

$$[H_3O^+]^3 +K_a [H_3O^+]^2 -K_e [H_3O^+]-K_a K_e = c K_a [H_3O^+] \qquad .$$ (9)

Cette dernière équation contient la solution exacte du pH à partir de $c$, $K_c$ et $K_e$, mais elle est lourde à manipuler. Par la suite nous proposons plusieures possibilités de la ramener à des approximations simples. Pour cela nous n'egligeons toujours l'autodissociation de l'eau : des ions $H_3O^+$ ou $OH^-$ viennent de la dissociation d'un acide ou d'une base.