Méthode de variation perturbation.

La méthode de variation des constantes ne permet pas de retrouver les équations de la perturbation statique, dans la limite où $\hat H^{(1)}$ est indépendant du temps. Dans la méthode de variation perturbation, l'équation de Schrödinger perturbée s'écrit:

$$\left[ \hat H^{(0)}({\bf r}) + \lambda \hat H^{(1)}({\bf r},... ...\frac {\partial}{\partial t} \vert \Psi_i ({\bf r}, t) \rangle$$ (3.84)

et la fonction propre $\vert \Psi_i({\bf r}, t)\rangle$ est développée en série du paramètre de perturbation $\lambda$:

$$\vert \Psi_i ({\bf r}, t)\rangle= \exp(-\imath \varphi(t)) \... ...mits_{i=k}^\infty \lambda^k \vert\chi_i^{k}({\bf r}, t)\rangle$$ (3.85)

où le facteur de phase $\varphi(t)$ est lui-même développé en série de $\lambda$

$$\varphi(t)= \sum\limits_{i=k}^\infty \lambda^k \varphi^{k}(t)$$ (3.86)

$\vert\chi_i^{(0)}({\bf r}, t)\rangle$ est choisi tel qu'il soit fonction propre de l'équation de Schrödinger non perturbée:

$$\vert\chi_i^{(0)}({\bf r}, t)\rangle = \vert\Phi_i^{(0)}({\bf r})\rangle$$ (3.87)

ce qui implique

$$\varphi^{(0)}=E^{(0)}_i t/\hbar$$ (3.88)

De plus on impose à $\vert \Psi_i({\bf r}, t)\rangle$ d'être normée. En substituant 3.85 et 3.86 dans 3.84 et après avoir multiplier chaque membre par $\exp(\imath \varphi(t)$, il vient:

$$\left[ \hat H^{(0)}({\bf r}) + \lambda \hat H^{(1)}({\bf r}, t) \... ...\sum\limits_{k=0}^\infty \lambda^k \vert\chi_i^{k}({\bf r}, t)\rangle \right) = \left(\sum\limits_{k=0}^\infty \hbar \lambda^k \frac{\partial}{\part... ...sum\limits_{k=0}^\infty \lambda^k \vert\chi_i^{k}({\bf r}, t)\rangle\right) \cr +\imath\hbar \left(\sum\limits_{k=0}^\infty \lambda^k \frac{\partial}{\partial t} \vert\chi_i^{k}({\bf r}, t)\rangle \right)$$ (3.89)

En conservant les termes de degré homogène en $\lambda$, on obtient pour le premier ordre:

$$(\hat H^{(0)} ({\bf r}) - E_i^{(0)})\vert \chi_i^{1}({\bf r}... ...\frac{\partial}{\partial t} \vert\chi_i^{1}({\bf r}, t)\rangle$$ (3.90)

En multipliant à gauche par $\langle \Phi_i^{(0)} ({\bf r})\vert$, on trouve :

$$\hbar\frac{\partial}{\partial t}\varphi^{1}(t) = \langle \P... ...vert \frac{\partial}{\partial t} \chi_i^{1}({\bf r}, t)\rangle$$ (3.91)

En substituant dans 3.90 on obtient:

$$(\hat H^{(0)} ({\bf r}) - E_i^{(0)})\vert \chi_i^{1}({\bf r}, t)\... ...(0)} ({\bf r})\vert \hat H^{(1)} ({\bf r}, t) \vert\Phi_i^{(0)}({\bf r})\rangle = \cr -\imath\hbar \vert\Phi_i^{(0)}({\bf r})\rangle\langle \Phi_i^... ...le + \imath\hbar \frac{\partial}{\partial t} \vert\chi_i^{1}({\bf r}, t)\rangle$$ (3.92)

Si $\hat H^{1}$ est indépendant du temps, l'équation 3.92 se ramène à celle de la perturbation statique:

$$(\hat H^{(0)} ({\bf r}) - E_i^{(0)})\vert \Phi_i^{1}({\bf r}... ...rt\hat H^{(1)} ({\bf r}) \vert\Phi_i^{(0)}({\bf r})\rangle = 0$$ (3.93)

La fonction d'onde perturbée est alors évaluée à l'aide des mêmes techniques que dans le cas de la perturbation indépendant du temps.