Exercices : Fonctions réciproques

Exercice 1

1) Vérifier avec Mathematica que la fonction arcsin x définie sur [-1,1] est bien la fonction réciproque de la restriction de la fonction sin x  à l’intervalle [-π/2,π/2].

On vérifie que arcsin est bien la fonction réciproque de sin sur les intervalles considérés :

Simplify[Sin[ArcSin[x]],-1≤x≤1]

Simplify[ArcSin[Sin[x]],-π/2≤x≤π/2]

2) Vérifier que les courbes de sin x et arcsin x sont symétriques par rapport à la droite y=x.

Les courbes de sin x et arcsin x sont symétriques par rapport à la droite y=x :

Plot[{x,Sin[x],ArcSin[x]},{x,-2,2},AspectRatio->1]

3) De même, vérifier que la fonction arccos x définie sur [-1,1] est bien la fonction réciproque de la restriction de la fonction cos xà l’intervalle [0,π], et que leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite  y=x .

De même, pour arccos et cos :

Simplify[Cos[ArcCos[x]],-1≤x≤1]

Simplify[ArcCos[Cos[x]],0≤x≤π]

Plot[{x,Cos[x],ArcCos[x]},{x,-2,2},AspectRatio->1]

4) Calculer  cos(arcsin x)  et  sin(arccos x).

Mathematica permet de calculer directement :

Cos[ArcSin[x]]

Sin[ArcCos[x]]

5) Vérifier  que arcos(x)+arcsin(x)=π/2 pour -1<x<1.

Vérifions graphiquement que arcos(x)+arcsin(x)=π/2 pour -1<x<1 :

Plot[{ArcCos[x]+ArcSin[x],π/2},{x,-1,1}]

Les deux courbes semblent bien superposées. On peut aussi vérifier plus rigoureusement avec la commande FullSimplify :

FullSimplify[ArcCos[x]+ArcSin[x],-1<x<1]

6) Vérifier que tan(2arctanx)=2x/(1-(x^2)).

De même, vérifions que tan(2arctanx)=2x/(1-(x^2)) :

Plot[{Tan[2ArcTan[x]],((2x)/(1-(x^2)))},{x,-3,3}]

FullSimplify[Tan[2ArcTan[x]]-((2x)/(1-(x^2)))]

Exercice 2

1) Calculer  arcsin 0, arcsin(sin π), arccos 1, arccos(cos (2π)), arcsin (π).

ArcSin[0]

ArcSin[Sin[π]]

ArcCos[1]

ArcCos[Cos[2π]]

ArcSin[π]//N

2) Déterminer la fonction réciproque de la restriction de la fonction sin x à l’intervalle [ π/2, 3 π/2].

Pour trouver la fonction réciproque de sin x pour (π/2)<x<((3π)/2) on peut utiliser Reduce :

Reduce[{Sin[x]==y,(π/2)<x<((3π)/2)},x]

C’est donc la fonction g(y)=π-arcsin(y) pour -1<y<1.

Vérifions sur un graphique que les courbes sont symétriques par rapport à le droite y=x :

Show[Plot[Sin[x],{x,(π/2),((3π)/2)},PlotStyle->Blue,AspectRatio->1],Plot[π-ArcSin[x],{x,-1,1},PlotStyle->Red,AspectRatio->1],Plot[x,{x,-10,10},PlotStyle->Green,AspectRatio->1],PlotRange->{{-1,6},{-1,6}},AspectRatio->1,AxesOrigin->{0,0}]

3) Déterminer la fonction réciproque de la restriction de la fonction cos x à l’intervalle [ π, 2π].

De même, pour la fonction réciproque de cos x pour π<x<2π :

Reduce[{Cos[x]==y,π<x<2π},x]

C’est donc la fonction g(y)=2π-arccos(y) pour -1<y<1.

Vérifions sur un graphique que les courbes sont symétriques par rapport à le droite y=x :

Show[Plot[Cos[x],{x,π,2π},PlotStyle->Blue,AspectRatio->1],Plot[2π-ArcCos[x],{x,-1,1},PlotStyle->Red,AspectRatio->1],Plot[x,{x,-10,10},PlotStyle->Green,AspectRatio->1],PlotRange->{{-1,6},{-1,6}},AspectRatio->1,AxesOrigin->{0,0}]

Exercice 3

On considère la fonction f(x)=arcsin (2x/((x^2)+1)).

1) Déterminer le domaine de définition de f.

On définit la fonction

f[x_]=ArcSin[((2x)/((x^2)+1))]

Son domaine de définition est donné par Mathematica :

FunctionDomain[f[x],x]

c’est-à-dire qu’il n’y a pas de condition sur x. C’est donc l’ensemble des réels.

2) Calculer sa dérivée et tracer sa courbe.

Sa dérivée est

D[f[x],x]

Sa courbe est :

Plot[f[x],{x,-5,5}]

3) Vérifier que f(x)= 2 arctan x  pour -1≤x≤1.

Une façon de vérifier que f(x)=2 arctan x  pour -1≤x≤1 avec Mathematica est :

Reduce[{f[x]-2ArcTan[x]==0,-1≤x≤1},x]