Exercices : Fonctions réciproques

Exercice 1

1) Vérifier avec Mathematica que la fonction arcsin x définie sur [-1,1] est bien la fonction réciproque de la restriction de la fonction sin x  à l’intervalle [-π/2,π/2].

2) Vérifier que les courbes de sin x et arcsin x sont symétriques par rapport à la droite y=x.

3) De même, vérifier que la fonction arccos x définie sur [-1,1] est bien la fonction réciproque de la restriction de la fonction cos xà l’intervalle [0,π], et que leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite  y=x .

4) Calculer  cos(arcsin x)  et  sin(arccos x).

5) Vérifier  que arcos(x)+arcsin(x)=π/2 pour -1<x<1.

6) Vérifier que tan(2arctanx)=2x/(1-(x^2)).

Exercice 2

1) Calculer  arcsin 0, arcsin(sin π), arccos 1, arccos(cos (2π)), arcsin (π).

2) Déterminer la fonction réciproque de la restriction de la fonction sin x à l’intervalle [ π/2, 3 π/2].

3) Déterminer la fonction réciproque de la restriction de la fonction cos x à l’intervalle [ π, 2π].

Exercice 3

On considère la fonction f(x)=arcsin (2x/((x^2)+1)).

1) Déterminer le domaine de définition de f.

2) Calculer sa dérivée et tracer sa courbe.

3) Vérifier que f(x)= 2 arctan x  pour -1≤x≤1.