Exercices : Trigonométrie

Exercice 1

Pour θ réel, linéariser les expressions suivantes :

a) (cos^2)(2θ)

Les expressions trigonométriques peuvent être linéarisées avec la commande “TrigReduce” :

TrigReduce[((Cos[2θ])^2)]

b) (sin^2)(2θ)

TrigReduce[((Sin[2θ])^2)]

c) (cos^3)(θ)

TrigReduce[((Cos[θ])^3)]

d) (sin^3)(θ)

TrigReduce[((Sin[θ])^3)]

e) (cos^4)(θ)

TrigReduce[((Cos[θ])^4)]

Exercice 2

1) Montrer que cos(2θ) est un polynôme de degré 2 en cos θ.

On utilise “TrigExpand” pour exprimer une expression trigonométrique en fonction de puissances de cos et sin :

TrigExpand[Cos[2θ]]

Pour tout exprimer en fonction de cosθ, on peut remplacer  (((sinθ))^2) par 1-(((cosθ))^2):

TrigExpand[Cos[2θ]]/.((Sin[θ])^2)->(1-((Cos[θ])^2))

2) Montrer que cos(3θ) est un polynôme de degré 3 en cos θ.

TrigExpand[Cos[3θ]]/.((Sin[θ])^2)->(1-((Cos[θ])^2))//Expand

3) Montrer que sin(3θ) est un polynôme de degré 3 en sin θ.

TrigExpand[Sin[3θ]]/.((Cos[θ])^2)->(1-((Sin[θ])^2))//Expand

Exercice 3

1) Calculer la somme (∑_(k=0)^n)(e^(i(ω t-k ϕ))).

Sum[(E^(I (ω t + k ϕ))),{k,0,n}]

2) Calculer la somme (∑_(k=1)^n)cos(ω t+ k ϕ).

Sum[Cos[ω t + k ϕ],{k,1,n}]

3) Calculer la somme (∑_(k=1)^n)sin(ω t+ k ϕ).

Sum[Sin[ω t + k ϕ],{k,1,n}]

4) Calculer la somme (∑_(k=-n)^n)(e^(i(ω t + k ϕ))).

Sum[(E^(I (ω t + k ϕ))),{k,-n,n}]