Exercices : Nombres complexes

Exercice 1

1) On considère  le nombre complexe z=2+3i. Calculer arg(z), arg(-z), arg((OverBar[z])), arg(-(OverBar[z])).

z=2+3I

Arg[z]

Arg[-z]

Arg[Conjugate[z]]

Arg[-Conjugate[z]]

2) Représenter dans le plan complexe les nombres complexes de la question précédente : z, -z, (OverBar[z]), -(OverBar[z]).

Show[ListPlot[{{Re[z],Im[z]}},PlotStyle->Blue],ListPlot[{{Re[-z],Im[-z]}},PlotStyle->Red],ListPlot[{{Re[Conjugate[z]],Im[Conjugate[z]]}},PlotStyle->Green],
ListPlot[{{Re[-Conjugate[z]],Im[-Conjugate[z]]}},PlotStyle->Yellow],PlotRange->{{-4,4},{-6,6}}]

3) Déterminer l’ensemble des points (x,y) d’affixe z=x+i y tels que (z-2)/(z-i) ∈ ℝ.

Clear[z]

z=x+I y

Simplify[Reduce[((z-2)/(z-I))∈Reals,{x,y}],{x∈Reals,y∈Reals}]

4) Déterminer l’ensemble des points (x,y) d’affixe z=x+i y tels que |(z-1)/(z-2i) |=1.

Simplify[Reduce[Abs[((z-1)/(z-2I))]==1,{x,y}],{x∈Reals,y∈Reals}]

5) Déterminer l’ensemble des points (x,y) d’affixe z=x+i y tels que Re((OverBar[z]))≤3.

Simplify[Reduce[Re[Conjugate[z]]≤-3,{x,y}],{x∈Reals,y∈Reals}]

Exercice 2

Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants :

a) ((1+i)/(1-i))

Le plus souvent, Mathematica simplifie automatiquement un nombre complexe en écriture cartésienne :

((1+I)/(1-I))

b) ((2-i)/(3i))

((2-I)/(3I))

c) ((1-i)/(3+2i))

((1-I)/(3+2I))

d) ((((1-i))^4)/((((Sqrt[3])-i))^3))

Mais, parfois il faut utiliser “Simplify” :

((((1+I))^4)/((((Sqrt[3])-I))^3))

((((1+I))^4)/((((Sqrt[3])-I))^3))//Simplify

Exercice 3

Ecrire sous forme polaire les nombres complexes suivants :

a) (Sqrt[2])(1+i)

Définissons une fonction pour calculer la forme polaire d’un nombre complexe :

Clear[z]

formepolaire[z_]=Abs[z]Exp[I Arg[z]]

On peut alors utiliser cette fonction sur n’importe quel nombre complexe :

formepolaire[(Sqrt[2])(1+I)]

b) (3/2)-((3i(Sqrt[3]))/2)

formepolaire[(3/2)-((3I(Sqrt[3]))/2)]

c) (((((1+i(Sqrt[3]))/(1-i))))^2)

formepolaire[(((((1+I(Sqrt[3]))/(1-I))))^2)]

Exercice 4

Déterminer les inverses des nombres complexes suivants :

a) (Sqrt[2])(1+i)

L’inverse d’un nombre de complexe s’obtient sans difficulté avec Mathematica :

((((Sqrt[2])(1+I)))^(-1))

b) 3-2i

(((3-2I))^(-1))

c) ((a-2i)/4) où a est un réel.

(((((a-2I)/4)))^(-1))

Pour obtenir la forme cartésienne de ce dernier nombre complexe en utilisant que a est réel on peut utiliser “ComplexExpand” :

ComplexExpand[(4/(-2 I+a))]

Exercice 5

1) Soit l’impédance complexe : (Subscript[Z, RLC])=R+i L ω+(1/(i C ω)) avec R>0, C>0, L>0, ω>0. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de (Subscript[Z, RLC]).

On définit l’impédance complexe :

ZRLC=R+I L ω+(1/(I C ω))

On peut essayer de calculer la partie réelle par :

Re[ZRLC]

mais Mathematica ne sait pas que R, L, C, ω sont des variables réelles. Pour simplifier, il faut ajouter cette information par exemple en indiquant que toutes ces variables sont positives (et donc réelles) :

Simplify[Re[ZRLC],{R>0,L>0,C>0,ω>0}]

De même, pour la partie imaginaire :

Simplify[Im[ZRLC],{R>0,L>0,C>0,ω>0}]

2) Soit l’impédance complexe : (Subscript[(OverTilde[Z]), RLC])=(1/(1/R+i C ω))+R+i L ω avec R>0, C>0, L>0, ω>0. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de (Subscript[(OverTilde[Z]), RLC]).

Pour le deuxième circuit, on peut utiliser “ComplexExpand” pour  commencer à mettre le nombre complexe sous forme cartésienne :

ZtRLC=(1/(1/R+I C ω))+R +I L  ω//ComplexExpand

FullSimplify[Re[ZtRLC],{R>0,L>0,C>0,ω>0}]

Simplify[Im[ZtRLC],{R>0,L>0,C>0,ω>0}]

3) Soit la fonction de transfert complexe : H(z)=((1+(OverBar[z]))/(1+z)) avec z=x+i y où x et y sont réels. Calculer la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l’argument de H(z).

On définit la fonction H(z) :

H[z_]=((1+Conjugate[z])/(1+z))

En posant z=x+i y, la partie réelle peut être obtenue comme ceci :

ReH=Simplify[ComplexExpand[Re[H[x+I y]]]]

De même, la partie imaginaire est :

ImH=Simplify[ComplexExpand[Im[H[x+I y]]]]

Le module vaut 1 :

ComplexExpand[Abs[H[x+I y]]]

Pour calculer, des essais avec la fonction “Arg” ne donnent directement la solution :

Simplify[Arg[H[x+I y]],{x∈Reals,y∈Reals}]

On peut néanmoins calculer directement l’argument  avec :

ArcTan[ImH/ReH]