Exercices : Nombres complexes

Exercice 1

1) On considère  le nombre complexe z=2+3i. Calculer arg(z), arg(-z), arg((OverBar[z])), arg(-(OverBar[z])).

2) Représenter dans le plan complexe les nombres complexes de la question précédente : z, -z, (OverBar[z]), -(OverBar[z]).

3) Déterminer l’ensemble des points (x,y) d’affixe z=x+i y tels que (z-2)/(z-i) ∈ ℝ.

4) Déterminer l’ensemble des points (x,y) d’affixe z=x+i y tels que |(z-1)/(z-2i) |=1.

5) Déterminer l’ensemble des points (x,y) d’affixe z=x+i y tels que Re((OverBar[z]))≤3.

Exercice 2

Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants :

a) ((1+i)/(1-i))

b) ((2-i)/(3i))

c) ((1-i)/(3+2i))

d) ((((1-i))^4)/((((Sqrt[3])-i))^3))

Exercice 3

Ecrire sous forme polaire les nombres complexes suivants :

a) (Sqrt[2])(1+i)

b) (3/2)-((3i(Sqrt[3]))/2)

c) (((((1+i(Sqrt[3]))/(1-i))))^2)

Exercice 4

Déterminer les inverses des nombres complexes suivants :

a) (Sqrt[2])(1+i)

b) 3-2i

c) ((a-2i)/4) où a est un réel.

Exercice 5

1) Soit l’impédance complexe : (Subscript[Z, RLC])=R+i L ω+(1/(i C ω)) avec R>0, C>0, L>0, ω>0. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de (Subscript[Z, RLC]).

2) Soit l’impédance complexe : (Subscript[(OverTilde[Z]), RLC])=(1/(1/R+i C ω))+R+i L ω avec R>0, C>0, L>0, ω>0. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de (Subscript[(OverTilde[Z]), RLC]).

3) Soit la fonction de transfert complexe : H(z)=((1+(OverBar[z]))/(1+z)) avec z=x+i y où x et y sont réels. Calculer la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l’argument de H(z).