Exercices : Fonctions de plusieurs variables

Exercice 1 : Gradient

1) Définir la fonction à 2 variables f(x,y)=(x^2)+(y^2)  et la répresenter comme une surface en 3D. On utilisera la commande “Plot3D”.

2) Calculer son gradient et représenter le champ vectoriel ainsi obtenu. On utilisera la commande “VectorPlot”. Quelle est la nature du point (0,0) ?

3) Refaire les questions 1) et 2) avec la fonction f(x,y)=(x^2)-(y^2)  .

4) On considère à présent une fonction de 3 variables  f(x,y,z)=(x^2)+(y^2)+(z^2). Calculer son gradient et le représenter. On utilisera la commande “VectorPlot3D”.

Exercice 2 : Divergence et rotationnel

1) Définir les fonctions vectorielles à 3D (ou champs de vecteur) : (OverVector[A])(x,y,z)=x(OverVector[ i ])+ y (OverVector[j ])+ z (OverVector[k])  et (OverVector[B])(x,y,z)=-y(OverVector[ i ])+ x (OverVector[j ])+ 0(OverVector[k]).

2) Représenter ces fonctions vectorielles.

3) Calculer leurs divergences.

4) Calculer leurs rotationnels.

Exercice 3 : Laplacien

Utiliser Mathematica pour rappeller l’expression du laplacien en coordonnées cartésiennes d’une fonction à 2 variables, puis pour déterminer le laplacien en coordonnées polaires.

Exercice 4 : Equations différentielles aux dérivées partielles

1) Résoudre l’équation différentielle aux dérivées partielles : x ((∂ f (x,y))/(∂x))+y ((∂ f (x,y))/(∂y))=0.

2) Résoudre l’équation différentielle aux dérivées partielles : y((∂ f (x,y))/(∂x))-x((∂ f (x,y))/(∂y))=f(x,y).

3) Déterminer la forme générale de la solution de l’équation d’onde : (c^2)(((∂^2)u (x,t))/(∂(x^2)))=(((∂^2)u (x,t))/(∂(t^2))).

Exercice 5 : fonction homogène

Soit une fonction f à deux variables homogène de degré α, c’est-à-dire f(λ x, λ y)=(λ^α)f(x,y) .
Montrer que :  x ((∂ f (x,y))/(∂x))+y ((∂ f (x,y))/(∂y))=α f(x,y).