Exercices : Développments limités

Exercice 1

1) Déterminer le développement limité de 1/(1+2x) au voisinage de x=0 à l’ordre 5.

On obtient les développement limités avec la commande “Series” :

Series[(1/(1+2x)),{x,0,5}]

2) Déterminer le développement limité de 1/(1+(t^2)) au voisinage de t=0 à l’ordre 6.

Series[(1/(1+(t^2))),{t,0,6}]

3) Déterminer le développement limité de 1/(1-3m) au voisinage de m=0 à l’ordre 4.

Series[(1/(1-3m)),{m,0,4}]

4) Déterminer le développement limité de sin(ω t) au voisinage de t=π/(3ω) à l’ordre 5.

Series[Sin[ω t],{t,(π/(3ω)),5}]

5) Déterminer le développement limité de cos(θ) au voisinage de θ=3π/4 à l’ordre 4.

Series[Cos[θ],{θ,((3π)/4),4}]

Exercice 2

1) On considère la fonction f(x)=cos x - ln(1+x) . 
a) Déterminer la tangente à la courbe de f en x=0.

On définit la fonction

f[x_]=Cos[x]-Log[1+x]

Sa tangente à x=0 est

tf0[x_]=f[0]+f'[0]x

On peut aussi utiliser “Series” pour faire un développement limité à l’ordre 1 et enlever le "O(x)^2" avec la commande “Normal”

tf0[x_]=Series[f[x],{x,0,1}]//Normal

b) A l’aide d’un développement limité, étudier la position de la courbe de f par rapport à sa tangente au voisinage de 0.

Etudions cela en faisant un développement limité de la différence :

Series[f[x]-tf0[x],{x,0,5}]

Le premier terme -(x^3)/3 donne le signe de la différence proche de x=0. La courbe est donc au dessus de la tangente pour x<0 et au dessous pour x>0.

c) Vérifier le résultat précédent en traçant la courbe de f et sa tangente.

Traçons la fonction et sa tangente sur un même graphe :

Plot[{f[x],tf0[x]},{x,-1,1}]

Il semble bien que la courbe soit au dessus de la tangente pour x<0 et au dessous pour x>0.

2) On considère la fonction g(x)=ln[(1+x)/(x-1)] - arctan x.
a) La courbe de g admet une asymptote d’équation y=a+b/x quand x tend vers l’infini. Déterminer l’équation de cette asymptote.

On définit la fonction

g[x_]=Log[((1+x)/(x-1))]-ArcTan[x]

La commande “Series” permet d’obtenir le développment asymptotique quand x->∞ :

Series[g[x],{x,∞,1}]

L’asymptote est donc

gasymp[x_]=-(π/2)+(3/x)

b) Etudier la position de la courbe de g  par rapport à son asymptote quand x tend vers l’infini.

Etudions cela en faisant un développement asymptotique de la différence :

Series[g[x]-gasymp[x],{x,∞,3}]

La différence est positive quand x->∞, donc la courbe de g est au dessus de son asymptote quand x est suffisament grand.

c) Vérifier le résultat précédent en traçant la courbe de g et son asymptote.

Traçons la fonction et son asymptote sur un même graphe :

Plot[{g[x],gasymp[x]},{x,-10,10},PlotStyle->{Red,Blue}]

Il semble bien que la courbe tende vers son asymptote en étant au desssus.

3) On considère la fonction h(x)=(Sqrt[4(x^4)-4x+3])-arctan (-x).
a) La courbe de h admet une asymptote d’équation y=a (x^2)+b quand x tend vers l’infini. Déterminer l’équation de cette asymptote.

De même :

h[x_]=(Sqrt[4(x^4)-4x+3])-ArcTan[-x]

Series[h[x],{x,∞,1}]

On peut donc définit l’asymptote suivante :

hasymp1[x_]=2 (x^2)+(π/2)

ou une asymptote plus précise en ajoutant un autre terme :

hasymp2[x_]=2 (x^2)+(π/2)-(2/x)

b) Etudier la position de la courbe de h  par rapport à son asymptote quand x tend vers l’infini.

Series[h[x]-hasymp1[x],{x,∞,3}]

La courbe est donc en dessous de son asymptote quand x->∞.

c) Vérifier le résultat précédent en traçant la courbe de h et son asymptote.

Traçons la fonction et ces asymptotes sur un même graphe :

Plot[{h[x],hasymp1[x],hasymp2[x]},{x,0,3},PlotStyle->{Red,Blue,Green}]

La courbe est bien en dessous de son asymptote bleue. La courbe verte correspondante à l’asymptote plus précise tend plus vite vers la courbe de la fonction que la courbe bleue correspondante à l’asymptote moins précise.

Exercice 3

1) Déterminer le développement limité de (e^(sin x)) au voisinage de x=0 à l’ordre 5.

Series[Exp[Sin[x]],{x,0,5}]

2) Déterminer le développement limité de (((1+x))^(1/x)) au voisinage de x=0 à l’ordre 3.

Series[(((1+x))^(1/x)),{x,0,3}]

3) Déterminer le développement limité de ln(cos x) au voisinage de x=0 à l’ordre 6.

Series[Log[Cos[x]],{x,0,6}]

4) Déterminer le développement limité de (((cos x))^(sin x)) au voisinage de x=0 à l’ordre 6.

Series[(((Cos[x]))^(Sin[x])),{x,0,6}]

5) Déterminer le développement limité de cos x-x sin x au voisinage de x=π/2 à l’ordre 3.

Series[Cos[x]-x Sin[x],{x,(π/2),3}]

6) Déterminer le développement limité de (cos x)/(1-x)-(e^x) au voisinage de x=0 à l’ordre 4.

Series[((Cos[x])/(1-x))-Exp[x],{x,0,4}]

7) Déterminer le développement limité de tan(ln(1+(x^2))) au voisinage de x=0 à l’ordre 4.

Series[Tan[Log[1+x^2]],{x,0,4}]

8) Déterminer le développement limité de 1/(Sqrt[1-(x^2)])+arcsin x au voisinage de x=0 à l’ordre 4.

Series[(1/(Sqrt[1-(x^2)]))+ArcSin[x],{x,0,4}]

9) Déterminer le développement limité de ln((cos^2) x - (sin^2) x) au voisinage de x=0 à l’ordre 4.

Series[Log[((Cos[x])^2)-((Sin[x])^2)],{x,0,4}]

10) Déterminer le développement limité de (e^(sin x ln (cos x))) au voisinage de x=0 à l’ordre 5.

Series[Exp[Sin[x]Log[Cos[x]]],{x,0,5}]

Exercice 4

A l’aide de développements limités, déterminer les limites suivantes :

1) (lim_(x->0)) (((Sqrt[1+sin x])+(e^(-x/2))-2)/(x^3))

Series[(((Sqrt[1+Sin[x]])+(E^(-x/2))-2)/(x^3)),{x,0,2}]

donc la limite vaut -1/24.

2) (lim_(x->0)) (((e^(Sqrt[1+sin x]))-e)/(tan x))

Series[(((E^(Sqrt[1+Sin[x]]))-E)/(Tan[x])),{x,0,2}]

donc la limite vaut e/2.

3) (lim_(x->1)) (((x^x)-x)/(1-x+ln x))

Series[(((x^x)-x)/(1-x+Log[x])),{x,1,2}]

donc la limite vaut -2.

4) (lim_(x->+∞))(((1+(α/x)))^x)

Series[(((1+(α/x)))^x),{x,∞,2}]

donc la limite vaut (e^α).