Exercices : Développments limités

Exercice 1

1) Déterminer le développement limité de 1/(1+2x) au voisinage de x=0 à l’ordre 5.

2) Déterminer le développement limité de 1/(1+(t^2)) au voisinage de t=0 à l’ordre 6.

3) Déterminer le développement limité de 1/(1-3m) au voisinage de m=0 à l’ordre 4.

4) Déterminer le développement limité de sin(ω t) au voisinage de t=π/(3ω) à l’ordre 5.

5) Déterminer le développement limité de cos(θ) au voisinage de θ=3π/4 à l’ordre 4.

Exercice 2

1) On considère la fonction f(x)=cos x - ln(1+x) . 
a) Déterminer la tangente à la courbe de f en x=0.

b) A l’aide d’un développement limité, étudier la position de la courbe de f par rapport à sa tangente au voisinage de 0.

c) Vérifier le résultat précédent en traçant la courbe de f et sa tangente.

2) On considère la fonction g(x)=ln[(1+x)/(x-1)] - arctan x.
a) La courbe de g admet une asymptote d’équation y=a+b/x quand x tend vers l’infini. Déterminer l’équation de cette asymptote.

b) Etudier la position de la courbe de g  par rapport à son asymptote quand x tend vers l’infini.

c) Vérifier le résultat précédent en traçant la courbe de g et son asymptote.

3) On considère la fonction h(x)=(Sqrt[4(x^4)-4x+3])-arctan(- x).
a) La courbe de h admet une asymptote d’équation y=a (x^2)+b quand x tend vers l’infini. Déterminer l’équation de cette asymptote.

b) Etudier la position de la courbe de h  par rapport à son asymptote quand x tend vers l’infini.

c) Vérifier le résultat précédent en traçant la courbe de h et son asymptote.

Exercice 3

1) Déterminer le développement limité de (e^(sin x)) au voisinage de x=0 à l’ordre 5.

2) Déterminer le développement limité de (((1+x))^(1/x)) au voisinage de x=0 à l’ordre 3.

3) Déterminer le développement limité de ln(cos x) au voisinage de x=0 à l’ordre 6.

4) Déterminer le développement limité de (((cos x))^(sin x)) au voisinage de x=0 à l’ordre 6.

5) Déterminer le développement limité de cos x-x sin x au voisinage de x=π/2 à l’ordre 3.

6) Déterminer le développement limité de (cos x)/(1-x)-(e^x) au voisinage de x=0 à l’ordre 4.

7) Déterminer le développement limité de tan(ln(1+(x^2))) au voisinage de x=0 à l’ordre 4.

8) Déterminer le développement limité de 1/(Sqrt[1-(x^2)])+arcsin x au voisinage de x=0 à l’ordre 4.

9) Déterminer le développement limité de ln((cos^2) x - (sin^2) x) au voisinage de x=0 à l’ordre 4.

10) Déterminer le développement limité de (e^(sin x ln (cos x))) au voisinage de x=0 à l’ordre 5.

Exercice 4

A l’aide de développements limités, déterminer les limites suivantes :

1) (lim_(x->0)) (((Sqrt[1+sin x])+(e^(-x/2))-2)/(x^3))

2) (lim_(x->0)) (((e^(Sqrt[1+sin x]))-e)/(tan x))

3) (lim_(x->1)) (((x^x)-x)/(1-x+ln x))

4) (lim_(x->+∞))(((1+(α/x)))^x)