Exercices : Intégration

Exercice 1

Calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes :

1) t -> ln t

Une primitive d’une fonction s’obtient avec Mathematica avec “Integrate” :

Integrate[Log[t],t]

2) t -> ((ln t)/t)

Integrate[((Log[t])/t),t]

3) t -> t cos t

Integrate[t Cos[t],t]

4) t -> (t^2) (e^t)

Integrate[(t^2)Exp[t],t]

5) t -> tan t

Integrate[Tan[t],t]

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

1)  (∫_0^(1/(Sqrt[2])))1/(Sqrt[1-(x^2)])dx

L’intégrale d’une fonction sur un intervalle s’obtient aussi avec “Integrate” mais en indiquant les bornes :

Integrate[(1/(Sqrt[1-(x^2)])),{x,0,(1/(Sqrt[2]))}]

2) (∫_0^1)(e^t)/((e^t)+1)dt

Integrate[((E^t)/((E^t)+1)),{t,0,1}]

3) (∫_0^(π/2))[(sin^2)(x)-(cos^2)(x)]dx

Integrate[((Sin[x])^2)-((Cos[x])^2),{x,0,(π/2)}]

4) (∫_0^∞)t (e^(-(t^2)))dt

Integrate[t (E^(-(t^2))),{t,0,∞}]

Exercice 3

On considère les intégrales suivantes pour n entier positif : (Subscript[I, n])=(∫_0^(π/2))(sin^n)(x)dx et (Subscript[J, n])=(∫_0^(π/2))(cos^n)(x)dx.

1) Calculer les intégrales (Subscript[I, 0]), (Subscript[J, 0]), (Subscript[I, 1]), (Subscript[J, 1]), (Subscript[I, 2]), (Subscript[J, 2]).

On calculer directement les integrales avec Integrate :

Integrate[Sin[x]^0,{x,0,(π/2)}]

Integrate[Cos[x]^0,{x,0,(π/2)}]

Integrate[Sin[x]^1,{x,0,(π/2)}]

Integrate[Cos[x]^1,{x,0,(π/2)}]

Integrate[Sin[x]^2,{x,0,(π/2)}]

Integrate[Cos[x]^2,{x,0,(π/2)}]

On a donc : (Subscript[I, 0])=(Subscript[J, 0]), (Subscript[I, 1])=(Subscript[J, 1]), (Subscript[I, 2])=(Subscript[J, 2]).

2) Calculer les intégrales (Subscript[I, n ])et (Subscript[J, n]) pour n entier positif quelconque. On simplifiera le résultat donné par Mathematica en prenant en compte le fait que n est positif. Mathematica exprime le résultat à l’aide d’une fonction spéciale. Consultez l’aide pour connaître la définition de cette fonction spéciale.

On définit et on calcule les intégrales (Subscript[I, n]) et (Subscript[J, n]) :

intI[n_]=Integrate[Sin[x]^n,{x,0,(π/2)}]

intJ[n_]=Integrate[Cos[x]^n,{x,0,(π/2)}]

On peut simplifier ces expressions en indiquant que n≥0 :

intI[n_]=Simplify[Integrate[Sin[x]^n,{x,0,(π/2)}],n≥0]

intJ[n_]=Simplify[Integrate[Cos[x]^n,{x,0,(π/2)}],n≥0]

Mathematica exprime le résultat à l’aide de la fonction spéciale “Gamma” d’Euler. La page d’aide nous indique la définition de cette fonction :  Γ(z)=(∫_0^∞)(t^(z-1))(e^(-t))dt.  Il s’agit d’une généralisation de la factorielle pour des nombres non-entiers. Donc le cas particulier où z est un entier (supérieur à 1), on a Γ(z)= (z-1)!

FullSimplify[Gamma[z]==(z-1)!,{z∈Integers,z≥1}]

Les intégrales (Subscript[I, n]) et (Subscript[J, n ])sont égales pour tout n.

3) Vérifier que l’intégrale (Subscript[I, n]) satisfait la relation de récurrence (Subscript[I, n])=((n-1)/n) (Subscript[I, n-2]) pour n≥2.

On peut vérifier la relation de récurrence directement :

FullSimplify[intI[n]==((n-1)/n)intI[n-2],n≥2]

4) Vérifier que  (Subscript[I, 2p])=(((2p)!)/((((2^p)p!))^2))(π/2) et (Subscript[I, 2p+1])=(((((2^p)p!))^2)/((2p+1)!)) pour p≥0

intI[2p]

Mathematica exprime (Subscript[I, 2p]) sous une autre forme, mais on peut vérifier qu’elle est égale à (((2p)!)/((((2^p)p!))^2))(π/2) :

FullSimplify[intI[2p]==(((2p)!)/((((2^p)p!))^2))(π/2),{p≥0,p∈Integers}]

De même pour  (Subscript[I, 2p+1]) :

FullSimplify[intI[2p+1]==(((((2^p)p!))^2)/((2p+1)!)),{p≥0,p∈Integers}]

5) Tracer (Subscript[I, n]) en fonction de n. Comment varie (Subscript[I, n]) en fonction de n ? Vérifier la limite de (Subscript[I, n]) quand n->∞ .

On peut tracer (Subscript[I, n]) pour des valeurs entières de n en combinant les commandes “Table” and “ListPlot” :

ListPlot[Table[{n,intI[n]},{n,0,100}]]

ou, plus simplement avec “Plot”, si on autorise n à être un nombre réel :

Plot[intI[n],{n,0,10}]

On voit que (Subscript[I, n]) décroit avec n.

(Subscript[I, n ])tend vers 0 quand n->∞

Limit[intI[n],n->∞]

6) Tracer (Subscript[I, 2p])/(Subscript[I, 2p+1]) en fonction de p et vérifier sa limite de (Subscript[I, 2p])/(Subscript[I, 2p+1]) quand p->∞ .

On trace (Subscript[I, 2p])/(Subscript[I, 2p+1]) pour p entier :

ListPlot[Table[{p,((intI[2p])/(intI[2p+1]))},{p,0,100}]]

ou pour p réel :

Plot[((intI[2p])/(intI[2p+1])),{p,0,100}]

La limite vaut 1 :

Limit[intI[2p]/intI[2p+1],p->∞]

7) Le résultat précédent montre que  (lim_(p->∞)) ((((2^(4p))(((p!))^4))/(p ((((2p!))^2)))=π. Vérifier avec Mathematica cette limite. 
A partir de quelle valeur de p obtient-on une approximation de π  avec les deux premières décimales correctes ?

Vérifions la limite directement :

Limit[(1/p)(((2^(4p))(((p!))^4))/((((2p)!))^2)),p->∞]

Essayons plusieurs valeurs de p :

(1/p)(((2^(4p))(((p!))^4))/((((2p)!))^2))/.p->10.

(1/p)(((2^(4p))(((p!))^4))/((((2p)!))^2))/.p->20.

(1/p)(((2^(4p))(((p!))^4))/((((2p)!))^2))/.p->50.

(1/p)(((2^(4p))(((p!))^4))/((((2p)!))^2))/.p->93.

(1/p)(((2^(4p))(((p!))^4))/((((2p)!))^2))/.p->94.

On obtient 3.14... à partir de p=94.

(1/p)(((2^(4p))(((p!))^4))/((((2p)!))^2))/.p->100.

(1/p)(((2^(4p))(((p!))^4))/((((2p)!))^2))/.p->1000.

Exercice 4

1) Définir la fonction t->f(t)=(t^2) et vérifier qu’elle est convexe.

Prenons un exemple d’une fonction positive et convexe :

f[t_]=t^2

La fonction est bien convexe puisque sa dérivée seconde est toujours positive :

D[f[t],{t,2}]

2) Vérifier que f(1)/2+f(2)+...+f(n-1)+f(n)/2 -(∫_1^n)f(t) dt≥0 pour n≥1.

Calculons la somme

somme=((f[1])/2)+Sum[f[k],{k,2,n-1}]+((f[n])/2)//Expand

et l’intégrale

integrale=Integrate[f[t],{t,1,n}]

Vérifions que l’inégalité est bien vérifiée :

Reduce[somme-integrale≥0,n]

3) Vérifier que f(1)/2+f(2)+...+f(n-1)+f(n)/2 -(∫_1^n)f(t) dt≤[f'(n)-f'(1)]/8 pour n≥1.

Vérifions cette inégalité :

Reduce[somme-integrale ≤((f'[n]-f'[1])/8),n]