Exercices : Intégration

Exercice 1

Calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes :

1) t -> ln t

2) t -> ((ln t)/t)

3) t -> t cos t

4) t -> (t^2) (e^t)

5) t -> tan t

Exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

1)  (∫_0^(1/(Sqrt[2])))1/(Sqrt[1-(x^2)])dx

2) (∫_0^1)(e^t)/((e^t)+1)dt

3) (∫_0^(π/2))[(sin^2)(x)-(cos^2)(x)]dx

4) (∫_0^∞)t (e^(-(t^2)))dt

Exercice 3

On considère les intégrales suivantes pour n entier positif : (Subscript[I, n])=(∫_0^(π/2))(sin^n)(x)dx et (Subscript[J, n])=(∫_0^(π/2))(cos^n)(x)dx.

1) Calculer les intégrales (Subscript[I, 0]), (Subscript[J, 0]), (Subscript[I, 1]), (Subscript[J, 1]), (Subscript[I, 2]), (Subscript[J, 2]).

2) Calculer les intégrales (Subscript[I, n ])et (Subscript[J, n]) pour n entier positif quelconque. On simplifiera le résultat donné par Mathematica en prenant en compte le fait que n est positif. Mathematica exprime le résultat à l’aide d’une fonction spéciale. Consultez l’aide pour connaître la définition de cette fonction spéciale.

3) Vérifier que l’intégrale (Subscript[I, n]) satisfait la relation de récurrence (Subscript[I, n])=((n-1)/n) (Subscript[I, n-2]) pour n≥2.

4) Vérifier que  (Subscript[I, 2p])=(((2p)!)/((((2^p)p!))^2))(π/2) et (Subscript[I, 2p+1])=(((((2^p)p!))^2)/((2p+1)!)) pour p≥0

5) Tracer (Subscript[I, n]) en fonction de n. Comment varie (Subscript[I, n]) en fonction de n ? Vérifier la limite de (Subscript[I, n]) quand n->∞ .

6) Tracer (Subscript[I, 2p])/(Subscript[I, 2p+1]) en fonction de p et vérifier sa limite de (Subscript[I, 2p])/(Subscript[I, 2p+1]) quand p->∞ .

7) Le résultat précédent montre que  (lim_(p->∞)) ((((2^(4p))(((p!))^4))/(p ((((2p!))^2)))=π. Vérifier avec Mathematica cette limite. 
A partir de quelle valeur de p obtient-on une approximation de π  avec les deux premières décimales correctes ?

Exercice 4

1) Définir la fonction t->f(t)=(t^2) et vérifier qu’elle est convexe.

2) Vérifier que f(1)/2+f(2)+...+f(n-1)+f(n)/2 -(∫_1^n)f(t) dt≥0 pour n≥1.

3) Vérifier que f(1)/2+f(2)+...+f(n-1)+f(n)/2 -(∫_1^n)f(t) dt≤[f'(n)-f'(1)]/8 pour n≥1.