Exercices : Dérivation

Exercice 1

1) Définir dans Mathematica la fonction (Subscript[h, 1])(x)=(e^(-x)).

2) Calculer sa dérivée première, sa dérivée seconde, et sa dérivée troisième.

3) Utiliser la commande “SeriesCoefficient” pour calculer la dérivée  (n^(ème)).

4) Même questions avec la fonction (Subscript[h, 2])(x)=1/(1-x).

Exercice 2

1) En utilisant la commande “If”, définir dans Mathematica la fonction définie par morceaux : f(x)=({{{, ({{1-(e^(-1/(x^2))), si   x≠0}, {1, si  x=0.}})}}).

2) Vérifier que la fonction est continue en x=0.

3) Calculer la dérivée de la fonction. Est-elle définie en x=0 ?

4) Même questions pour la fonction ϕ(x)=({{{, ({{(x^3)sin(1/x), si   x≠0}, {0, si  x=0.}})}})

Exercice 3

1) Définir dans Mathematica la fonction (Subscript[ψ, 1])(x)=ln(tan(x/2)) et montrer qu’elle est périodique.

2) Déterminer le domaine de définition de (Subscript[ψ, 1])(x).

3) Calculer la dérivée de (Subscript[ψ, 1])(x).

4) Tracer (Subscript[ψ, 1])(x) et sa dérivée sur le même graphe.

5) Même questions pour la fonction (Subscript[ψ, 2])(x)=ln(tan(x/2+π/4)).

Exercice 4

1) Utiliser Mathematica pour montrer que sin x≤ x pour x≥0. On e

2) De même, montrer que ln(1+x)≤x pour x>-1.

Exercice 5

1) Définir dans Mathematica la fonction de Weierstrass : f(x)=(∑_(n=0)^nmax)(a^n)cos((b^n)π x) .

2) Tracer la fonction sur l’intervalle [-10,10] pour  a=7/10, b=10, et nmax=1, 10, 100.

3) Vérifier graphiquement que la fonction tend vers une valeur finie quand nmax->∞ par exemple en x=1 :

4) Calculer la dérivée de f(x), et vérifier graphiquement sa limite quand nmax->∞  en x=1. Commenter.