Exercices : Fonctions d’une variable réelle

Exercice 1

1) Définir dans Mathematica la fonction sinus cardinal : f(u)=(sin u )/u. Cette fonction est-elle définie en u=0 ?

2) Calculer la limite de cette fonction en u->0. La fonction est-elle prolongeable par continuité en u=0 ?

3) Vérifier le résultat précédent en traçant la fonction sur un petit intervalle autour  u=0.

4) En fait, Mathematica dispose déjà une fonction “Sinc[u]”. Vérifier que cette fonction est définie en u=0.

5) Traçer la fonction f(u) sur l’intervalle [-15,15].

6) Calculer les valeurs de u pour lesquelles f(u) s’annule.

7) Calculer la dérivée de f(u) et la tracer sur l’intervalle [-15,15].

8) Calculer les valeurs de u pour lesquelles f'(u) s’annule. Pour chacune de ces valeurs de u, vérifier s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum.

Exercice 2

1) Définir dans Mathematica la fonction sinus cardinal normalisée : g(u)=(sin (π u ))/(π u).

2) Calculer l’intégrale de cette fonction g(u) de -∞ à +∞. Comparer à l’intégrale de la fonction f(u) de l’exercice précédent.

3) Tracer les fonctions f(u) et  g(u) sur le même graphe

Exercice 3

1) Définir dans Mathematica la fonction Γ(ω)=(((Subscript[ϕ, 0])^2)/2)((R((Subscript[ω, 0])-ω))/((R^2)+(((L^2)((Subscript[ω, 0])-ω))^2))) .

2) Pour quelle valeur de ω la fonction Γ(ω) s’annulle-t-elle ?

3) Calculer la dérivée de Γ(ω). Pour quelles valeurs de ω cette dérivée s’annulle-t-elle ?

4) Tracer la fonction Γ(ω) pour des différentes valeurs des paramètres (Subscript[ϕ, 0]), R, L, et (Subscript[ω, 0]). Que se passe-t-il quand R est proche de 0 ?

Exercice 4

1) Définir dans Mathematica la fonction g(x)=x ln x + (1-x) ln (1-x) + W x (1-x) .

2) Utiliser Mathematica pour vérifier que le domaine de définition de g(x) est l’intervalle ]0,1[.

3) La fonction g(x) est-elle prolongeable par continuité sur l’intervalle [0,1] ?

4) Calculer la dérivée première et la dérivée seconde de la fonction g(x).

5) Calculer les valeurs de x pour lesquelles la dérivée seconde s’annule et étudier le signe de la dérivée seconde.

6) Vérifier que g(1-x) = g(x).

7) Tracer g(x), g'(x) et g"(x) sur le même graphe pour W=0.