Exercices : Vecteurs du plan

Dans les exercices, on considéra une base ((OverVector[i]),(OverVector[j])) orthornormée. Sauf mention du contraire, les composantes des vecteurs considérés sont exprimées dans cette base.

Exercice 1

1) Définir dans Mathematica les vecteurs (OverVector[u])=((Sqrt[2])/2,(Sqrt[2])/2), et (OverVector[v])=(-(Sqrt[2])/2,(Sqrt[2])/2).

On définit les vecteurs u et v :

u={((Sqrt[2])/2),((Sqrt[2])/2)}

v={-((Sqrt[2])/2),((Sqrt[2])/2)}

2) Calculer les normes de chacun des vecteurs.

Norm[u]

Norm[v]

Ils sont de norme 1. Ils sont donc unitaires.

3) Calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs et l’angle entre ces deux vecteurs. Ces vecteurs forment-ils une base orthonormée du plan?

u.v

Le produit scalaire est nul donc ils sont orthogonaux.

On calcule l’angle entre les vecteurs en utilisant la formule du produit scalaire

ArcCos[((u.v)/(Norm[u] Norm[v]))]

ou en utilisant directement la fonction VectorAngle

VectorAngle[u,v]

L’angle est de π/2 donc ils sont bien orthogonaux. Les vecteurs forment bien une base orthonormée du plan.

4) Tracer ces vecteurs en utilisant la commande “Arrow”.

On peut tracer ces vecteurs en choissant  par exemple l’origine au point O=(0,0)

o={0,0};

Graphics[{Red,Arrow[{o,u}],Blue,Arrow[{o,v}]}]

5) Calculer les composantes des vecteurs (OverVector[F])=(2cosθ,2sinθ) et (OverVector[P])=(0,-m g) dans la base ((OverVector[u]),(OverVector[v])).

On définit les vecteurs

F={2Cos[θ],2Sin[θ]}

P={0,-m g}

Les composants de ces vecteurs dans la base orthormale (u,v) sont données par

Fp={u.F,v.F}

Pp={u.P,v.P}

6) De même manière, vérifier que les vecteurs  (OverVector[ I])=(1/2,(Sqrt[3])/2) et (OverVector[J])=(-(Sqrt[3])/2,1/2) forment une base orthornomée et calculer les composantes du vecteur (OverVector[R])=(Rx,Ry) dans cette base.

On définit les vecteurs

vecI={1/2,(Sqrt[3])/2}

vecJ={-(Sqrt[3])/2,1/2}

Ils sont de norme 1:

Norm[vecI]

Norm[vecJ]

et orthogonaux :

vecI.vecJ

Définisons le vecteur R

R={Rx,Ry}

Dans la base (I,J), les composants de ce vecteur sont :

{vecI.R,vecJ.R}

Exercice 2

1) Ecrire les composantes du vecteur unitaire (OverVector[u]) formant un angle α  (0<α<π/4) avec le vecteur unitaire (OverVector[i]).

Ecrivons les composantes du vecteur u  dans la base orthonormale ((OverVector[i]),(OverVector[j])) :

u={Cos[α],Sin[α]}

2) Ecrire les composantes du vecteur (OverVector[v])  de façon que ((OverVector[u]),(OverVector[v])) forme une base orthornomée directe. Vérifier que ((OverVector[u]),(OverVector[v])) forment bien une base orthornomée.

Les composantes du vecteur directement orthogonal à u s’écrit

v={-Sin[α],Cos[α]}

Vérifions que (u,v) forment une base orthonormale :

Norm[u]

Simplify[Norm[u],Assumptions->0<α<(π/4)]

Simplify[Norm[v],Assumptions->0<α<(π/4)]

u.v

3) Dans la base  ((OverVector[i]),(OverVector[j])) , les composantes du vecteur (OverVector[P]) sont  (OverVector[P])=(0,-P). Calculer les composantes de ce vecteur (OverVector[P]) dans la base ((OverVector[u]),(OverVector[v])).

Ecrivons les composantes du vecteur P dans la  base  ((OverVector[i]),(OverVector[j])) :

vecP={0,-P}

Les composantes dans la base   ((OverVector[u]),(OverVector[v])) sont :

{u.vecP,v.vecP}

4) Calculer les composantes des vecteurs (OverVector[f])=-f(OverVector[u]) et  (OverVector[R])=R(OverVector[v]) dans la base  ((OverVector[i]),(OverVector[j])) .

vecf=-f u

vecR= R v

5) Ecrire les composantes dans la base ((OverVector[i]),(OverVector[j])) du vecteur (OverVector[F]) faisant un angle β avec le vecteur (OverVector[u]).

Les composantes du vecteur (OverVector[F]) dans la base ((OverVector[i]),(OverVector[j])) se calculent directement avec l’angle β  et les vecteurs (OverVector[u]) et (OverVector[v]) :

vecF=F Cos[β]u+ F Sin[β]v