Exercices : Polynômes à coefficients complexes - Racines nèmes de l’unité

Exercice 1

Déterminer les racines complexes des polynômes suivants :

a) (z^2)-3-4i

On utilise simplement “Solve”

Solve[z^2-3-4I==0,z]

ou on peut directement factoriser avec “Factor” :

Factor[z^2-3-4I]

b) (z^2)+4z+8

Solve[z^2+4z+8==0,z]

c) (z^4)-4i z^2-4

Solve[z^4-4I z^2-4==0,z]

d) (z^4)-16

Solve[z^4-16==0,z]

e) (z^2)-2z (cos α + i sin α)+2i sin α (cos α+i sin α)   où α est un réel.

resultat=Solve[z^2-2z (Cos[α]+I Sin[α])+2I Sin[α](Cos[α]+I Sin[α])==0,z]

Exercice 2

Résoudre dans ℂ les équations suivantes et placer les solutions obtenues sur le plan complexe.

1) (z^3)=1

Solve[z^3==1,z]

on obtient trois racines dont deux sont des puissances d’un nombre négatif. Il s’agit de nombres complexes que l’on peut obtenir plus explicitement avec “ComplexExpand” :

Solve[z^3==1,z]//ComplexExpand

Traçons le solutions obtenues sur le plan complexe :

ListPlot[{{1,0},{-(1/2),-(( (Sqrt[3]))/2)},{-(1/2),(( (Sqrt[3]))/2)}},AspectRatio->1]

Les points sont sur le cercle de rayon de 1 et de centre 0 :

Show[ListPlot[{{1,0},{-(1/2),-(( (Sqrt[3]))/2)},{-(1/2),(( (Sqrt[3]))/2)}},AspectRatio->1,PlotRange->{{-1.5,1.5},{-1.5,1.5}}],Graphics[Circle[{0,0},1]]]

2) (z^7)=1

resultat=Solve[z^7==1,z]//ComplexExpand

On peut extraire les points de manière systématique avec la commande suivante :

points=Transpose[{Re[z/.resultat],Im[z/.resultat]}]

Show[ListPlot[points,AspectRatio->1,PlotRange->{{-1.5,1.5},{-1.5,1.5}}],Graphics[Circle[{0,0},1]]]

3) (z^3)=27

resultat=Solve[z^3==27,z]//ComplexExpand

points=Transpose[{Re[z/.resultat],Im[z/.resultat]}]

Show[ListPlot[points,AspectRatio->1,PlotRange->{{-3.5,3.5},{-3.5,3.5}}],Graphics[Circle[{0,0},3]]]