Exercices : Vecteurs du plan

Dans les exercices, on considéra une base ((OverVector[i]),(OverVector[j])) orthornormée. Sauf mention du contraire, les composantes des vecteurs considérés sont exprimées dans cette base.

Exercice 1

1) Définir dans Mathematica les vecteurs (OverVector[u])=((Sqrt[2])/2,(Sqrt[2])/2), et (OverVector[v])=(-(Sqrt[2])/2,(Sqrt[2])/2).

2) Calculer les normes de chacun des vecteurs.

3) Calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs et l’angle entre ces deux vecteurs. Ces vecteurs forment-ils une base orthonormée du plan?

4) Tracer ces vecteurs en utilisant la commande “Arrow”.

5) Calculer les composantes des vecteurs (OverVector[F])=(2cosθ,2sinθ) et (OverVector[P])=(0,-m g) dans la base ((OverVector[u]),(OverVector[v])).

6) De même manière, vérifier que les vecteurs  (OverVector[ I])=(1/2,(Sqrt[3])/2) et (OverVector[J])=(-(Sqrt[3])/2,1/2) forment une base orthornomée et calculer les composantes du vecteur (OverVector[R])=(Rx,Ry) dans cette base.

Exercice 2

1) Ecrire les composantes du vecteur unitaire (OverVector[u]) formant un angle α  (0<α<π/4) avec le vecteur unitaire (OverVector[i]).

2) Ecrire les composantes du vecteur (OverVector[v])  de façon que ((OverVector[u]),(OverVector[v])) forme une base orthornomée directe. Vérifier que ((OverVector[u]),(OverVector[v])) forment bien une base orthornomée.

3) Dans la base  ((OverVector[i]),(OverVector[j])) , les composantes du vecteur (OverVector[P]) sont  (OverVector[P])=(0,-P). Calculer les composantes de ce vecteur (OverVector[P]) dans la base ((OverVector[u]),(OverVector[v])).

4) Calculer les composantes des vecteurs (OverVector[f])=-f(OverVector[u]) et  (OverVector[R])=R(OverVector[v]) dans la base  ((OverVector[i]),(OverVector[j])) .

5) Ecrire les composantes dans la base ((OverVector[i]),(OverVector[j])) du vecteur (OverVector[F]) faisant un angle β avec le vecteur (OverVector[u]).