Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice.

Si $gA$ est carrée d'ordre $n$, la matrice

$${\bf K}= \lambda\g1 - {\bf A}$$ (1.18)

est appelée matrice caractéristique de ${\bf A}$. L'équation

$$\vert K\vert = \vert \lambda\g1 - A\vert = 0$$ (1.19)

est l'équation caractéristique de ${\bf A}$. par $\vert K\vert = K(\lambda )$ est un polynôme d'ordre $n$ en $\lambda$ dont les racines sont les racines de la matrice ${\bf A}$.

Si ${\bf B}= \gQm1{\bf A}{\bf Q}$ alors

$$K_B = \vert\lambda\g1 - B\vert = \vert Q^{-1}\vert \dot \ver... ...A\vert \dot \vert Q\vert = \vert\lambda\g1 -A\vert = K_A\vert$$ (1.20)

La relation

$${\bf A}{\bf x}= a{\bf x}$$ (1.21)

où $a$ est un scalaire et ${\bf x}$ un vecteur colonne est l''equations aux valeurs propres de ${\bf A}$. Cette équation peut s'écrire

$$(a\g1 - {\bf A}){\bf x}\equiv {\bf K}{\bf x}= 0$$ (1.22)

Les valeurs propres de ${\bf A}$ sont donc les racines de ${\bf A}$, ce qui fournit la méthode de calcul des valeurs propres. Pour calculer les vecteurs propres on doit résoudre les systèmes inhomogènes

$${\bf A}{\bf x}_i = a_i{\bf x}$$ (1.23)

les $a_i$ étant les valeurs propres. Il est pratique de regrouper les vecteurs propres et les valeurs propres dans des matrices:

$${\bf A}{\bf X}= {\bf X}{\bf D}$$ (1.24)

${\bf D}$ est la matrice diagonale des valeurs propres $D_{ii} \equiv a_i$

Si l'on multiplie à gauche par ${\bf X}^{-1}$ l'équation précédant

$${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}= {\bf X}^{-1}{\bf X}{\bf D}={\bf D}$$ (1.25)