Travaux dirigés No 1

Atome d'hydrogène, ions hydrogénoïdes

0. Rappel du modèle de Bohr

1. Écrire l'équilibre des forces et la condition de quantification.
2. En déduire r_n, v_n, T_n et E_n.

I. Unités d'énergie

Une énergie peut se trouver (entre autre) dans la littérature sous forme de J, kJ/mol, kcal/mol, u.a. (unités atomiques), eV, kWh, Hz, K, cm^-1, Rydberg.

1. En partant de l'eV, établir une série de facteurs de conversion pour exprimer les autres unités. La constante de Boltzmann vaut 1.381 × 10^-23J/K.
2. Pourquoi la longueur d'onde ne figure-t-elle pas dans la liste?
3. Donner pour chaqune des unités énoncées une domaine d'application.
4. Etablir un petit schéma liant Hz, eV et cm^-1. Y repérer l'infra-rouge, le visible, l'ultra-violet.

II. Niveaux d'énergie et transitions électroniques

L'énergie totale d'un hydrogénoïde, un système monoélectronique, peut être écrite dans le cadre du modèle de Bohr.

1. Donner les valeurs de l'énergiue en eV pour l'atome d'hydrogène pour n = 1, 2 et 4.
2. Comparer ensuite la valeur trouvée pour l'hydrogène et n = 1 avec celle obtenue pour ₃Li²⁺ et n = 3 et 4. Quel est l'énergie totale d'un ion ₂₄Cr²³⁺ et d'un ion ₉₂U⁹¹⁺ dans leur état fondamental?
3. Pour obtenir une différence d'énergie correspondante à une raie d'une longueur d'onde d'un Ångstrøm, quel noyau faudrait-il considerer pour une transition n = 1® n = 2 et n = 1® n = ¥?

III. Le spectre d'hydrogène

Quelques précisions concernant l'atome d'hydrogène:

1. Expliquer la différence entre un spectre d'absorption et un spectre d'emission. Donner la relation entre l'énergie, le n initial et le n final d'une transition électronique dans un hydrogénoïde.
2. Calculer l'énergie de transition minimale et maximale pour les series de Lyman, Balmer et Paschen. Quelles sont les longueurs d'onde correspondantes? Faire un diagramme énergétique et dessiner les spectres obtenus. La fin d'une série se trouve-t-elle vers le côté rouge ou vers le côté bleu de la série?
3. Que peut-il se passer lors d'une irradiation d'un échantillon d'atomes d'hydrogène (dans l'état fondamental) avec des raies lumineuses de frequence 2.47×10¹⁵ Hz, 2.70×10¹⁵ Hz, 3.15×10¹⁵ Hz, 3.50× 10¹⁵ Hz? Considerons une précision de 0.05×10¹⁵ Hz pour les fréquences.

IV. Autres aspects (facultatif)

Le grand défaut du modèle de Bohr, malgré sa précision, est qu'il ne s'applique qu'à l'hydrogène et aux hydrogénoïdes, des espèces assez rares dans la nature mis a part l'atome d'hydrogène. Pourtant:

1. Comparer la taille d'un atome de fer (Z=26, rayon covalent = 1.243 Å) avec le rayon de son hydrogénoïde dans l'état fondamental et dans l'état qui correspond aux électrons de valence, c'est à dire n = 4. Quel n conduit au rayon covalent correct du fer neutre?
   Réponse: n=8
2. Un ``quantum dot'' (point quantique) porte aussi le nom ``d'atome artificiel'': il s'agit d'une nano-structure sur une surface, portant un nombre donné d'électrons libres. S'il y a un seul électron, le modèle de Bohr peut s'appliquer avec un centre ne portant plus une charge entière. Quel Z effectif permet de retrouver le potentiel d'ionisation de l'atome de fer (de 7.87 eV)?
   Réponse: Z_eff=0.761