CHIM202 (Atomistique et Liaison Chimique)
TE 3 : Formalisme de la mécanique quantique
Distinguer et définir d'abord les mots "vecteur", "application linéaire", "vecteur propre", "valeur propre", "produit scalaire", "fonction" et "opérateur". Pourquoi les fonctions f(x) sont-elles des vecteurs? Dans quel espace?

1  Fonctions et valeurs propres d'un opérateur

  1. Les fonctions Y1(x) = e ax et Y2(x) = e ax2 sont-elles fonctions propres de l'opérateur [d/dx]?
  2. La fonction Y3(x) = cos(ax) est-elle fonction propre des opérateurs [d/dx] et [(d2)/(dx2)]?
  3. Parmi les fonctions suivantes, quelles sont les fonctions propres de l'opérateur inversion I qui transforme x en - x:  (a) Y4(x) = x3 - kx    (b) Y5(x) = cos(kx)    (c) Y6(x) = x2 + 3x - 1

2  Commutateurs

Soient trois opérateurs linéaires A, B et C. On rappelle que le commutateur de A et B est défini par l'opérateur [A,B] = AB - BA.
  1. Calculer [B,A], [A,B+C], [AB,C], [A,BC] en fonction de [A,B], [A,C] et [B,C].
  2. Montrer que les opérateurs x et px = - i(h/2p)[(d)/(dx)] ne commutent pas.
  3. Montrer que [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.
  4. Calculer [A,B] pour
    A = æ
    ç
    ç
    ç
    è
    1
    1
    0
    1
    2
    2
    0
    2
    -1

    		ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ø     		  et    B = æ
    ç
    ç
    ç
    è
    1
    -1
    1
    -1
    0
    0
    1
    0
    1

    		ö
    ÷
    ÷
    ÷
    ø     		       .
  5. Soit [A,B]=0 et x vecteur propre non-dégénéré de A avec valeur propre l, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'espace multidimensionnel avec cette valeur propre. Montrer que x est également vecteur propre de B. Cette conséquence devient très important en spectroscopie.

3  Opérateurs hermitiques

Soit un opérateur linéaire A agissant sur des fonctions à une variable du type f(x) tel que x  Î  ] -¥,  +¥ [ et lim±¥f=0. L'opérateur adjoint de A, noté A+, est défini par son action:

ó
õ 		g*(x)A+f(x)dx =  æ
è 		ó
õ 		f*(x)Ag(x)dx ö
ø 		*
 
On dit que A est hermitique si A = A+ (on trouve également les notations t[`A] ou Af).
  1. Les opérateurs A1 = x et A2 = [(d)/(dx)] sont-ils hermitiques?
  2. Démontrer que l'opérateur px est hermitique.
  3. Soit l'opérateur hermitique A.
    1. Montrer que ses valeurs propres sont réelles.
    2. Montrer que deux vecteurs propres f et g associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, c'est-à-dire òg*(x)f(x)dx = 0.
  4. Montrer que (AB)+ = B+A+.
  5. Soient A, B et C=AB hermitiques. Montrer que [A,B]=0.
  6. Soit U unitaire (i.e. UU+=U+U=1) et B=U+AU. Montrer que A=UBU+.


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On 11 Feb 2005, 10:41.