Diagramme de Berlin

(P Reinhardt, LCT, UPMC, Istanbul, août 2013)

La force interatomique, une intégrale, est constituée d' un intégrand, qui, lui, peut être décomposé en une partie purement géométrique qui multiplie la densité. En traçant l' intégrand dans l' espace, on situe des régions qui contribuent à une attraction, et des régions qui suscitent une répulsion. Ceci a été obervé par Théodore Berlin en 1951.

Définitions de fonctions

Orbitales d' hydrogène 1 s, à 1 u.a.

Ra[x_,y_]:=(x+1/2)*(x+1/2)+y*y
Rb[x_,y_]:=(x-1/2)*(x-1/2)+y*y
Sa[x_,y_]:=Exp[-Ra[x,y]]/Sqrt[8π]
Sb[x_,y_]:=Exp[-Rb[x,y]]/Sqrt[8π]

Recouvrement, calculé par Smiles (programme de Madrid)

Overlap=0.858385362733

Orbitales σ et σ*

Sigma[x_,y_]:=(Sa[x,y]+Sb[x,y])/Sqrt[2+2Overlap]
RhoSigma[x_,y_]:=Sigma[x,y]^2
SigmaStar[x_,y_]:=(Sa[x,y]-Sb[x,y])/Sqrt[2-2Overlap]
RhoSigmaStar[x_,y_]:=SigmaStar[x,y]^2
CosThetaA[x_,y_]:={x+1/2,y}.{1,0}/Sqrt[(x+1/2)^2+y^2]
CosThetaB[x_,y_]:=-{x-1/2,y}.{1,0}/Sqrt[(x-1/2)^2+y^2]

La fonction de Berlin

f[x_,y_]:=1/Ra[x,y]^2*CosThetaA[x,y]+1/Rb[x,y]^2*CosThetaB[x,y]

Diagrammes

Le diagramme de Berlin

ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},ContourLabels->True]

Les densités des états Singulet et Triplet, et leur différence

L=1.5

Plot3D[RhoSigma[x,y],{x,-L,L},{y,-L,L}]

Plot3D[RhoSigmaStar[x,y],{x,-L,L},{y,-L,L}]

Plot3D[RhoSigma[x,y]-RhoSigmaStar[x,y],{x,-L,L},{y,-L,L}]

ContourPlot[RhoSigma[x,y]-RhoSigmaStar[x,y],{x,-L,L},{y,-L,L},ContourLabels->True]

Les contributions aux forces pour les états Singulet et Triplet

ContourPlot[RhoSigma[x,y]*f[x,y],{x,-L,L},{y,-L,L}]

ContourPlot[RhoSigmaStar[x,y]*f[x,y],{x,-L,L},{y,-L,L},ContourLabels->True]

ContourPlot[(RhoSigma[x,y]-RhoSigmaStar[x,y])*f[x,y],{x,-L,L},{y,-L,L},ContourLabels->True]