Généralisation.

On réserve le symbole L au moment cinétique orbital, s au moment cinétique de spin. On appellera opérateur moment cinétique, noté J tout opérateur hermitique dont les composantes satisfont les relations de commutation :

$$\lbrack J_x,J_y\rbrack = \imath\hbar J_z \mbox{\hspace{1 cm}... ...mbox{\hspace{1 cm}} \lbrack J_z,J_x\rbrack = \imath\hbar J_y$$ (2.12)

de plus :

$$\lbrack J^2,{\bf J}\rbrack = 0$$ (2.13)

On définit les opérateurs $J_+$ et $J_-$ par les relation suivantes :

$$J_+ = J_x + \imath J_y \mbox{\hspace{1 cm}} J_- = J_x - \imath J_y$$ (2.14)

Ces opérateurs jouent un rôle semblable à celui des opérateurs $a$ et $a^+$ introduits pour étudier l'oscillateur harmonique. Remarquons tout d'abord que $J_+$ et $J_-$ commuttent avec $J^2$ :

$$\lbrack J^2, J_+\rbrack = \lbrack J^2, J_x\rbrack + \imath \lbrack J^2, J_y\rbrack = 0$$

$$\lbrack J^2, J_-\rbrack = \lbrack J^2, J_x\rbrack - \imath \lbrack J^2, J_y\rbrack = 0$$ (2.15)

ce qui implique que si $\vert \varphi \rangle$ est une fonction propre de $J^2$ :

$$J^2\vert \varphi\rangle = c \vert \varphi\rangle$$ (2.16)

$J_+\vert \varphi\rangle$ et $J_-\vert \varphi\rangle$ sont également fonctions propres de $J^2$ avec la même valeur propre $c$

$$J^2J_+\vert \varphi\rangle = J_+J^2\vert \varphi\rangle =cJ_+\vert \varphi\rangle$$

$$J^2J_-\vert \varphi\rangle = J_-J^2\vert \varphi\rangle =cJ_-\vert \varphi\rangle$$ (2.17)

$J_+\vert \varphi\rangle$ et $J_-\vert \varphi\rangle$ sont également fonctions propres de $J_z$ :

$$J_zJ_+\vert \varphi\rangle = J_zJ_x\vert \varphi\rangle + \imath J_zJ_y \vert \varphi\rangle =... ...ngle + \imath J_yJ_z \vert \varphi\rangle = (a + \hbar) J_+\vert \varphi\rangle$$

$$J_zJ_-\vert \varphi\rangle = J_zJ_x\vert \varphi\rangle - \imath J_zJ_y \vert \varphi\rangle =... ...ngle - \imath J_yJ_z \vert \varphi\rangle = (a - \hbar) J_-\vert \varphi\rangle$$ (2.18)

En répétant $n$ fois l'action de $J_+$ ou de $J_-$ sur $\vert \varphi \rangle$ on obtient les relations générales :

$$J_zJ_+^n\vert \varphi\rangle = (a + n\hbar) J_+^n\vert \varphi\rangle$$

$$J_zJ_-^n\vert \varphi\rangle = (a - n\hbar) J_-^n\vert \varphi\rangle$$ (2.19)