Système a deux particules.

Pour un système comprenant deux particules on séparera le mouvement du centre de gravité du mouvement relatif des deux particules dans un référentiel lié au centre de gravité.

On considère deux particules de masse $m_1$ et $m_2$ repérées par les vecteurs position ${\bf r}_1$ et ${\bf r}_2$ et soumises à un potentiel d'interaction $V(\vert {\bf r}_2 - {\bf r}_1 \vert)$, on désignera par ${\bf R}$ le vecteur position du centre de gravité

$$(m_1 + m_2 ) {\bf R} = m_1{\bf r}_1 + m_2{\bf r}_2$$ (1.110)

L'équation de Schrödinger dépendant du temps s'écrit:

$$\imath\hbar{\partial \Phi \over \partial t} = \lbrack -({\hb... ...}_2 - {\bf r}_1 \vert )\rbrack \Phi ({\bf r}_1, {\bf r}_2, t)$$ (1.111)

On pose ${\bf r} = {\bf r}_2 - {\bf r}_1 , \quad M_c = m_1 +m_2, \quad M={m_1m_2\over m_1 + m_2}$

Après avoir exprimé $\nabla_1$ et $\nabla_2$ en fonction de $\nabla_{\bf R}$ et de $\nabla_{\bf r}$ il vient:

$$\imath\hbar{\partial \Phi \over \partial t} = \lbrack -({\hb... ... \nabla_{\bf r}^2 ) + V(r) \rbrack \Phi ({\bf R}, {\bf r}, t)$$ (1.112)

Pour résoudre on posera

$$\Phi({\bf R}, {\bf r}, t)=\Psi ({\bf r}, t) \chi({\bf R}, t)$$ (1.113)

et on résoudra séparément

$$\imath\hbar{\partial \chi \over \partial t} = \lbrack -{\hbar^2 \over 2M_c} \nabla_{\bf R}^2 -E_0 \rbrack \chi ({\bf R}, t)$$ (1.114)

$$\imath\hbar{\partial \Psi \over \partial t} = \lbrack -{\hba... ...r 2M} \nabla_{\bf r}^2 + E_0 + V(r) \rbrack \Psi ({\bf r}, t)$$ (1.115)

Sans perte de généralité la constante de séparation $E_0$ peut être choisie nulle.